DG-алгебра мотивов Тейта

[posic]

Задача: построить DG-алгебру A над кольцом Z с дополнительной положительной "внутренней" градуировкой, так чтобы триангулированная категория Воеводского мотивов Тейта с целыми коэффициентами над полем F была эквивалентна полной подкатегории, порожденной свободными градуированными DG-модулями с одной образующей, в производной категории внутренне градуированных DG-модулей над A. При этом еще так, чтобы компоненты A были абелевыми группами без кручения, и для любого кольца коэффициентов k, как то Z/m и т.п., триангулированная категория мотивов Тейта с коэффициентами в k получалась такой же конструкцией из DG-алгебры A⊗_Zk.

Решение: рассмотрим конструкцию "триангулированной категории эффективных геометрических мотивов": аддитивная категория гладких многообразий и конечных соответствий между ними, ее ограниченная гомотопическая категория, ее факторкатегория по соотношениям A¹-гомотопической инвариантности и Майера-Виеториса (добавлять образы идемпотентов мы не будем). Заменим гомотопическую категорию на DG-категорию комплексов. Это тензорная DG-категория, в частности, на ней действует DG-функтор тейтовской подкрутки. Применим к этой DG-категории конструкцию локализации по Дринфельду (по вышеупомянутым соотношениям); получится снова DG-категория с DG-функтором тейтовской подкрутки. По "теореме сокращения", этот функтор вполне строгий на уровне триангулированных категорий. Пусть A_n -- прямой предел Hom(Z(i),Z(n+i)) в этой DG-категории, для n>0. Мы получили искомую DG-алгебру. Из конструкции (в частности, из свойств локализации по Дринфельду) очевидно, что процедура коммутирует с тензорным умножением на кольцо коэффициентов k.

Это правильно?

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Вроде бы.:) По моим воспоминаниям, похожий метод использовался у Бейлинсона и Вологодского.

[posic.livejournal.com]

Да, я под впечатлением от чтения Б.-В. это и придумал.

[posic.livejournal.com]

Недостаток этого метода, однако, в том, что он, возможно, не дает правильного ответа по модулю p, если p равно характеристике F (в разных текстах упоминается зависимость построений Воеводского от предположения совершенности поля F).

Скажите, а вот ваш метод с комплексом циклов в кубах, он предположительно дает правильный ответ с по-настоящему целыми коэффициентами?

[buddha239.livejournal.com]

А Вы хотите, чтобы поле было не обязательно совершенное?:) Не очень понимаю, что происходит в этом случае.

Мой метод завязан на комплексы циклов (Суслина). Когомологии у них - высшие группы Чжоу (не знаю, нужно ли тут совершенство:)). Видимо, это правильно.

[posic.livejournal.com]

Что происходит в не обязательно совершенном случае, написано в статье Geisser, Levine. The K-theory of fields in characteristic p. Inventiones 139, 2000.

Но мой вопрос был не про это, а про то, не подразумевает ли ваша конструкция каких-либо целых чисел в знаменателях. Выдает ли она DG-алгебру, когомологии которой есть высшие группы Чжоу, без локализации по каким-либо простым.

Я говорил в Петербурге с Блохом, и он не был уверен на этот счет, опасаясь, что может быть нужна симметризация. Я у него еще спрошу. Но может быть, он имеет в виду другую конструкцию. Комплекс циклов Суслина и комплекс циклов Блоха -- это разные вещи?

[buddha239.livejournal.com]

Комплекс циклов Суслина и комплекс циклов Блоха -- разные вещи, да. Мне казалось, что они квазиизоморфны с целыми коэффициентами - но надо смотреть источники.

Есть еще конструкция Ханамуры, где вместо комплекса Суслина комплекс Блоха. В связи с тем, что в комплексе Блоха проблемы с композицией соответствий, то приходится долго махать руками.:) Еще Ханамура применяет альтернирование - а я нет. Альтернирование, насколько я понимаю, нужно только для того, чтобы получилась тензорная категория. Так что можно рассмотреть (Ханамуру - альтернирование).:)

[posic.livejournal.com]

Блох считает, что проблема с не всюду определенной композицией соответствий решается, если заменить симплексы на кубы. Как я понимаю, у вас тоже используются кубы. Разница между комплексами Блоха и Суслина в этом? Или там разные условия на циклы?

Альтернирование нужно, чтобы умножение было косокоммутативным, а это нужно для тензорной структуры, да. Но Блох считает, что комплекс с кубами может быть нужно усреднять по расширенной симметрической группе вроде S_n x (Z/2)ⁿ -- не только перестановки координат, но и отражения куба относительно координатных плоскостей.

[buddha239.livejournal.com]

У Суслина тоже симплексы были; на кубы их заменил я.:) Разные условия на циклы; у любых комплексов Блоха проблемы с композицией.

Комплекс с кубами, вроде бы, действительно обычно усредняют по чему-то большому; в подробности я не вникал.

[posic.livejournal.com]

Спасибо за пояснения!

[buddha239.livejournal.com]

Не за что. Обращайтесь!:)