DG-алгебра мотивов Тейта
Jun. 20th, 2010 12:36 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЗадача: построить DG-алгебру A над кольцом Z с дополнительной положительной "внутренней" градуировкой, так чтобы триангулированная категория Воеводского мотивов Тейта с целыми коэффициентами над полем F была эквивалентна полной подкатегории, порожденной свободными градуированными DG-модулями с одной образующей, в производной категории внутренне градуированных DG-модулей над A. При этом еще так, чтобы компоненты A были абелевыми группами без кручения, и для любого кольца коэффициентов k, как то Z/m и т.п., триангулированная категория мотивов Тейта с коэффициентами в k получалась такой же конструкцией из DG-алгебры A⊗Zk.
Решение: рассмотрим конструкцию "триангулированной категории эффективных геометрических мотивов": аддитивная категория гладких многообразий и конечных соответствий между ними, ее ограниченная гомотопическая категория, ее факторкатегория по соотношениям A1-гомотопической инвариантности и Майера-Виеториса (добавлять образы идемпотентов мы не будем). Заменим гомотопическую категорию на DG-категорию комплексов. Это тензорная DG-категория, в частности, на ней действует DG-функтор тейтовской подкрутки. Применим к этой DG-категории конструкцию локализации по Дринфельду (по вышеупомянутым соотношениям); получится снова DG-категория с DG-функтором тейтовской подкрутки. По "теореме сокращения", этот функтор вполне строгий на уровне триангулированных категорий. Пусть An -- прямой предел Hom(Z(i),Z(n+i)) в этой DG-категории, для n>0. Мы получили искомую DG-алгебру. Из конструкции (в частности, из свойств локализации по Дринфельду) очевидно, что процедура коммутирует с тензорным умножением на кольцо коэффициентов k.
Это правильно?
Решение: рассмотрим конструкцию "триангулированной категории эффективных геометрических мотивов": аддитивная категория гладких многообразий и конечных соответствий между ними, ее ограниченная гомотопическая категория, ее факторкатегория по соотношениям A1-гомотопической инвариантности и Майера-Виеториса (добавлять образы идемпотентов мы не будем). Заменим гомотопическую категорию на DG-категорию комплексов. Это тензорная DG-категория, в частности, на ней действует DG-функтор тейтовской подкрутки. Применим к этой DG-категории конструкцию локализации по Дринфельду (по вышеупомянутым соотношениям); получится снова DG-категория с DG-функтором тейтовской подкрутки. По "теореме сокращения", этот функтор вполне строгий на уровне триангулированных категорий. Пусть An -- прямой предел Hom(Z(i),Z(n+i)) в этой DG-категории, для n>0. Мы получили искомую DG-алгебру. Из конструкции (в частности, из свойств локализации по Дринфельду) очевидно, что процедура коммутирует с тензорным умножением на кольцо коэффициентов k.
Это правильно?
