Мантра про полубесконечные когомологии

[posic]

В случае конечномерных алгебр и модулей, теория функтора SemiExt из моего трактата производит на свет в качестве полубесконечных когомологий проконечномерные ("компактные") векторные пространства, поскольку они суть просто двойственные пространства к SemiTor. Теория же полубесконечных когомологий из статьи в Compositio производит в качестве полубесконечных когомологий индконечномерные ("дискретные") векторные пространства, причем всегда не более чем счетномерные. Непонятно, как сравнивать одно с другим.

P.S. Но есть естественное отображение из второго в первое.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Может, двойственность применить?:)

[posic.livejournal.com]

Нет-нет, это КОгомологии, в обоих случаях. При определенных, весьма ограничительных, условиях, они оказываются градуированными пространствами с конечномерными компонентами, при этом в одной из теорий подлежащие неградуированные пространства когомологий есть прямые произведения этих компонент, а в другой -- прямые суммы. В этом состоит теорема сравнения, существующая при этих условиях. В общем случае, имеется естественное отображение из "дискретной" теории в "компактную".

[buddha239.livejournal.com]

А если двойственность - и два раза?:)

[posic.livejournal.com]

Ну смотрите: если у вас есть счетная прямая сумма конечномерных пространств и вы применяете к ней два раза двойственность, вы не получите прямое произведение тех же пространств. Скажем, если основное поле счетно, то размерность счетной прямой суммы счетна, размерность счетного произведения равна континууму, а размерность второго двойственного пространства к счетномерному -- гиперконтинууму.

[buddha239.livejournal.com]

Допустим.:) А если просто пополнение?:)

[posic.livejournal.com]

Проконечномерное пополнение дискретного векторного пространства -- это и есть второе двойственное к нему.

[buddha239.livejournal.com]

Это почему?:)

[posic.livejournal.com]

Ох, ну что такое элемент проконечномерного пополнения? Это когда в каждом конечномерном факторпространстве выбрано по элементу, согласованным образом. Эквивалентно, на каждом двойственном пространстве к конечномерному факторпространству выбрано по линейному функционалу, согласованным образом. Эквивалентно, выбран линейный функционал на индуктивном пределе всех двойственных пространств к конечномерным факторпространствам.

А что такое элемент индуктивного предела двойственных пространств к конечномерным факторпространствам? Это линейный функционал на каком-нибудь конечномерном факторпространстве, с точностью до эквивалентности. То есть попросту элемент двойственного пространства к исходному пространству. Вот и получается.

[buddha239.livejournal.com]

"Это линейный функционал на каком-нибудь конечномерном факторпространстве, с точностью до эквивалентности." - А почему мы рассматриваем только "стабилизируемые" функционалы?:)

Кстати, когда я говорил о дважды двойственном, я вовсе не имел в виду, что двойственность обязательно применяется к конечному результату.:)

[posic.livejournal.com]

Это индуктивный предел. Его элементы суть элементы пространств, образующих индуктивную систему, с точностью до того, что элемент одного из таких пространств и его образ при любом отображении из этой системы отождествляются.

Последней фразы я не понял.

[buddha239.livejournal.com]

Последняя фраза к тому, что я не предполагал дать Вам ответ, который не надо корректировать.:)

Что касается пределов: двойственное один раз - проективный предел двойственных, двойственное два раза - что-то огромное.:) Индуктивный предел к дважды двойственному особого отношения не имеет.

[posic.livejournal.com]

Я выписал совершенно конкретный аргумент. Если у вас есть к нему претензии, давайте по пунктам.

[buddha239.livejournal.com]

Претензия: когда Вы считаете второе двойственное, вы вместо первого двойственного берете только те функционалы, которые пропускаются через конечный фактор.

[posic.livejournal.com]

Все линейные функционалы на векторном пространстве пропускаются через конечный фактор!

[buddha239.livejournal.com]

Берем функционал: сумма всех координат (по выбранному базису). Через что он пропускается?:)

[posic.livejournal.com]

Через одномерное факторпространство пространства, на котором он определен, по его ядру.

[posic.livejournal.com]

А вообще то же самое можно сказать проще: проконечномерное пополнение есть компактное пространство, непрерывные линейные функционалы на котором суть то же самое, что произвольные линейные функционалы на исходном пространстве. Но всякое компактное пространство есть двойственное пространство к пространству непрерывных линейных функционалов на себе.