Ноль и единица; сечения (пред)пучка над пустым подмножеством

[posic]

http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/11307.html
via http://akater.livejournal.com/420420.html

По ссылке все правильно объясняется, за отдельными исключениями вопроса, является ли ноль натуральным числом (зависит от конвенции) и вопроса о 0⁰ (зависит от контекста).

Точнее говоря, по первому вопросу, это упирается в различие между количественными и порядковыми числительными (у множества может быть ноль элементов, но нулевого элемента, в рамках обычного понятия о счете, быть не может; хотя считать с нуля в самом деле удобно в некоторых случаях, вплоть до того, что у математических статей бывают разделы номер 0, это -- другой, необычный счет. Чтобы пересчитать по одному элементы пустого множества, надо просто промолчать; слово "ноль", таким образом, остается непроизнесенным.)

По второму вопросу, 0⁰=1, если ноль в показателе степени мыслится как целое число, и не определено, если ноль в показателе степени рассматривается как элемент множества вещественных чисел, примерно так.

Касательно сечений (пред)пучка над пустым подмножеством, я не знал (не помнил), что у Хартсхорна есть такая ошибка. Когда я в Гарварде был Course Assistant'ом на курсе гомологической алгебры у Б.Г., мы уткнулись в эту проблему и в итоге, с моей подачи, изложили ее в трактовке, которая разъясняется по ссылке.

Comments

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>не определено, если ноль в показателе степени рассматривается как элемент множества вещественных чисел

Легко привести множество примеров, когда 0^0 должно быть определено
и в том случае, когда показатель — вещественное число.

Например, в некоммутативной геометрии (точнее, в алгебрах фон Нойманна)
используются выражения вида μ^a, где μ — произвольный вес на алгебре фон Нойманна M, а a — произвольное комплексное число с неотрицательной вещественной частью.
В частности, это выражение должно быть определено и в случае μ=0.
Если ограничиться чисто мнимыми значениями a,
то a→μ^a является однопараметрической группой унитарных элементов в некоторой алгебре фон Нойманна pNp, где p — носитель веса μ,
а N — «ядро» (the core) алгебры M.
В частности, для μ=0 имеем p=0 и pNp=0, то есть μ^a=1 для всех a,
где 1 рассатривается как элемент алгебры фон Нойманна pNp.


Что касается количественных и порядковых чисел, то не существует
математического аргумента, демонстрирующего, что нумерация
с какого-то конкретного числа (например, с 1)
является более естественной, чем нумерация с любого другого
числа, будь то 0, 5, или -23.
Для количественных чисел таких неоднозначностей нет.
То есть понятие количественных чисел (конечных кардиналов) естественно и заслуживает собственного
обозначение, а понятие порядковых чисел (то есть конечных ординалов,
поставленных в соответствие определённым образом конечным кардиналам) — неестественно и собственного
обозначения не заслуживает, независимо от точки начала нумерации.
(Здесь можно возразить, что конечные кардиналы и ординалы изоморфны единственным (и естественным) образом как упорядоченные множества, но это
опять же приводит к тому, что 0 — натуральное число.)