Spent several hours today downloading textbooks on set theory and trying to look into them

[posic]

The aim: satisfy the referee's request for a reference on the basics of cardinals, ordinals, regular cardinals, and the assertion that the successor cardinals are regular. The referee thinks that there are potential commutative algebraist readers of my paper who do not know such basics and would benefit from a reference.

Still I could not understand which of the books are better. All of them look far from perfect, and one has to read carefully into every one of them in order to evaluate it. I cannot read 5-10 textbooks carefully in order to choose which one is better. Maybe someone reading this blog entry has an opinion?

Провел сегодня несколько часов, скачивая учебники по теории множеств и пытаясь в них заглядывать. Цель: удовлетворить пожелание рецензента "предложить ссылку на основы понятий о кардиналах, ординалах, регулярных кардиналах и утвержение, что кардинал, у которого есть предыдущий кардинал, регулярен". Рецензент считает, что у моей статьи возможен читатель-специалист по коммутативной алгебре, не знающий этого материала, и ему могла бы помочь хорошая ссылка.

Так и не понял, какой из многочисленных учебников лучше. Все они выглядят далеко не идеально, и во все надо вчитываться. Я не могу вчитаться в пять-десять учебников, чтобы выбрать лучший. Может быть, у кого-то из читающих эти строки есть мнение?

Comments

[lemberger]

Про ординалы и кардиналы хорошо в этой книжке: https://math.uchicago.edu/~shmuel/lg-readings/Manin,%20Logic%20for%20Mathematicians.pdf

А вот про регулярные кардиналы я пас:(

[posic]

Там ключевое утверждение -- что любое бесконечное множество равномощно своему декартову квадрату. Оно есть в книжке Манина?

[lemberger]

Не факт, скорей нет, чем есть.

Своего земляка Йеха смотрел? http://iitp.ru/upload/userpage/300/jech_03.pdf

Там почти наверняка

[lemberger]

Chapter 3. Theorem 3.5.

[posic]

Спасибо! В новой версии статьи я добавил ссылки на три книжки как источники базовых сведений по теории множеств (ординалы-кардиналы и т.д.) Одна из этих трех -- книжка Манина, по твоему совету.

https://posic.dreamwidth.org/3582345.html

[posic]

https://www.facebook.com/posic/posts/pfbid02SVRj3wx4MkMUgDk2mkNogZBJtZtU7zMZBXTFyWpS6NVYZZ6hip2hddbmQiLqDykdl

[posic]

Anatoly Vorobey
Мне когда-то нравились доказательства и объяснения в классическом учебнике Леви "Basic Set Theory". Сейчас посмотрел, и он хорошо, как мне кажется, объясняет этот материал и то, как это утверждение использует аксиому выбора (стр. 135).

Леонид Посицельский
Anatoly Vorobey Спасибо. Эта книжка -- среди тех, которые я сегодня скачал и смотрел.

Я рассуждаю так. Утверждение, что кардинал, у которого есть предыдущий кардинал, регулярен -- по существу, просто перефразировка утверждения, что квадрат бесконечного множества равномощен этому множеству. Возможно, для того, чтобы вывести первое из второго, нужно использовать аксиому выбора -- но вряд ли специалиста по коммутативной алгебре, которому нужна ссылка на базовый материал по теории множеств, интересует, что зависит от аксиомы выбора и что нет. (В конце концов, специалист по коммутативной алгебре привык, что у всякого коммутативного кольца есть максимальный идеал, что тоже зависит от аксиомы выбора.)

Леонид Посицельский
Anatoly Vorobey Теперь я смотрю на страницу 135 книжки Леви, это Proposition IV.3.11Ac. Утверждение, что всякое бесконечное множество равномощно своему квадрату используется в этом доказательстве -- без ссылки. Конечно, это утверждение тоже имеется в книжке Леви -- это Proposition III.3.22 на странице 97. Но как специалист по коммутативной алгебре, которому посоветовали книжку Леви и который, допустим, нашел в ней Proposition IV.3.11Ac на странице 135, должен искать после этого Proposition III.3.22 на странице 97, на которое со страницы 135 даже не дана ссылка?

Как так можно? Я в недоумении по этому поводу. Может быть, книжка Леви хороша для чтения от начала до конца подряд (для студента), но как использовать ее, чтобы изучить доказательство отдельно взятой заинтересовавшей теоремы, я не понимаю.

И это не единственный учебник сегодня, в который я гляжу и у которого такая проблема.

Леонид Посицельский
Anatoly Vorobey Хотя картинка на странице 96 в книжке Леви очень хороша, конечно, и действительно наглядно иллюстрирует главную часть этого доказательства.

[posic]

Anatoly Vorobey
Leonid Positselski Да, я не задумывался об этом. Может, тут дело в том, что "бесконечное множество равномощно своему квадрату" считается настолько очевидной частью лексикона любого математика, что, хотя это конечно и доказывается в книге Леви и в любом учебнике, после этого давать точную отсылку к этому док-ву кажется необязательным. С другой стороны, "всякий кардинал, у которого есть предыдущий, регулярен" вовсе не является очевидной частью лексикона любого математика (включая, возможно, специалистов по коммутативной алгебре), пусть даже расстояние до него небольшое. Вы это расстояние назвали "перефразировкой", для специалиста по теории множеств, может, есть некое наполнение в виде аккуратного использования аксиомы выбора, но даже если не думать об этом, эта "перефразировка" все равно сводит читателя с совершенно знакомой протоптанной и интутитивно сто раз продуманной дороги "квадрат бесконечного множества" на возможно незнакомую, возможно забытую тропинку "регулярных кардиналов", "кофинальности", и аргумента, использующего предыдущий кардинал и сводящий утверждение к квадрату.

Я не могу, конечно, заглянуть в душу рецензента, но мне кажется логичным, что с точки зрения его заботы о гипотетическом специалисте по комм. алгебре, незнакомым с этим утверждением, его совершенно удовлетворила бы ссылка на док-во, сводящее его понятным образом к "квадрат бесконечного множества равномощен ему", без разбора и док-ва этого "очевидного" факта.

Anatoly Vorobey
Leonid Positselski Если же все-таки предпочтительна книга, крайне точно ссылающаяся на все предыдущие доказательства, подозреваю, что Takeuti & Zaring "Introduction to Axiomatic Set Theory" удовлетворит в этом смысле, но у Леви - так мне помнится - объяснения понятнее.