Мечтая о контракогерентных пучках

[posic]

0. С инд-нетеровой инд-схемой, определенной индуктивной системой замкнутых вложений схем, можно связать локально нетерову абелеву категорию Гротендика -- категорию квазикогерентных пучков кручения. Она определяется просто как прямой предел категорий квазикогерентных пучков на замкнутых подсхемах относительно функторов прямого образа при замкнутых вложениях.

1. Что можно связать с локально нетеровой абелевой категорией Гротендика? В диссертации Габриеля, параграфы IV.3-4, объясняется, что всякая локально конечная абелева категория Гротендика антиэквивалентна категории псевдокомпактных топологических модулей над псевдокомпактным топологическим кольцом.

2. Там же в замечании говорится что-то про обобщение этого на случай локально нетеровых категорий, с соответствующим ослаблением условия псевдокомпактности (т.е., конечности длины дискретных факторов) до условия артиновости дискретных факторов. Будем считать, что в обоих случаях речь идет о правых модулях.

3. Нельзя ли, наряду с этим, представить произвольную локально нетерову категорию Гротендика как категорию дискретных правых модулей над топологическим кольцом, в котором базу окрестностей нуля образуют правые идеалы, факторы по которым являются нетеровыми правыми модулями?

4. В контексте любой из ситуаций 1-3, нельзя ли как-нибудь установить, что топологическое кольцо определяется соответствующей категорией Гротендика почти однозначно, и в частности, исходной категорией Гротендика однозначно определяется абелева категория левых контрамодулей над этим топологическим кольцом?

5. Если пункты 3-4 проходят, это дает нам некое определение категории контракогерентных пучков над инд-нетеровой инд-схемой. В частности, просто для нетеровой схемы может получиться решение неразрешимой задачи.

Дополнение: во всяком случае, если категории правых комодулей над двумя коалгебрами (над полем) эквивалентны, то эти коалгебры Морита-эквивалентны в самом сильном смысле, так что и категории левых комодулей и левых контрамодулей над этими двумя коалгебрами тоже эквивалентны.

Comments

[hippie57.livejournal.com]

А какие кандидаты? Функции? Формы? Насколько для тебя важно, что инд-схема инд-нетерова?

[posic.livejournal.com]

Я пока ничего не понимаю, ты же видишь, тут сплошные знаки вопроса. Инд-нетеровость инд-схемы дает локальную нетеровость категории пучков кручения. Пытаться описывать произвольные категории Гротендика через топологические кольца -- еще более амбициозная задача. Пока что я просто ухватился за замечание в диссертации Габриеля, в надежде, что оно имеет смысл.

Все это делается по аналогии с контрамодулями над коалгебрами. Коалгебра -- это что-то вроде инд-нульмерной инд-схемы. Как ни мало похожа произвольная схема конечного типа на коалгебру, схема бесконечного типа на нее похожа еще гораздо меньше.

Первый кандидат в примеры контракогерентных пучков -- это функции на инд-схеме, да. Структурный пучок.

[hippie57.livejournal.com]

Ты же понимаешь, я всё о своём думаю. О полубесконечном комплексе Де Рама. В качестве входящих даннных должна быть Тэйтова структура на касательном пространстве в каждой точке (что бы это ни значило). Кстати, сами расслоения полубесконечных форм вполне себе существуют в рамках обычной квазикогерентной геометрии, но никот еще не построил дифференциал. И, естественно, не объяснил, откуда всё это могло бы браться.

[posic.livejournal.com]

Насчет полубесконечного комплекса де Рама что-то написано у Саши Б. в статье про топологические алгебры в MMJ, ты смотрел?

[hippie57.livejournal.com]

Нет, не смотрел, статью я знаю как препринт, может, в той версии, которую я видел, про Де Рама не было. Надо посмотреть.

[posic.livejournal.com]

http://www.ams.org/distribution/mmj/vol8-1-2008/cont8-1-2008.html

[hippie57.livejournal.com]

Судя по версии в архиве, там про Ли-* алгеброиды и их комплексы Шевалле- Де Рама. Ничего полубесконечного в этом нет, но эта хрень могла бы быть строительным блоком для правильного полубесконечного Де Рама.

[posic.livejournal.com]

Я так понял, он утверждает, что это дело обобщает киральный комплекс де Рама имени Вайнтроба-Маликова-Шехтмана и Капранова-Вассеро.

[hippie57.livejournal.com]

Конечно-конечно. Но сей комплекс -- киральный аналог вот чего. Берешь супермногообразие -- нечетное (ко)касательное расслоение. Берешь дифференциальные операторы на нём. Только в киральной науке диф. операторы определены канонически только после тривиализации некого жерба, ну а для для оного супермногообразия за счёт сокращеиня аномалий этот жерб тривиализован.

[posic.livejournal.com]

Ну и, я думаю, это не обычная квазикогерентная геометрия. Вот была статья В.Д. про тейтовские векторные расслоения, это наверно про это. Тейтовский модуль над коммутативным кольцом это, конечно, не просто модуль, а топологический модуль.

[hippie57.livejournal.com]

Конечно-конечно. Только в той истории, о которой я мечтаю, эта "Тейтовость" и вдоль базы, так сказать, и вдоль слоя.

[posic.livejournal.com]

А про тейтовские расслоения над инд-схемами никто еще не написал ничего?

[hippie57.livejournal.com]

Погоди, вот Володя.... Да? То есть с точки зрения полубесконечных форм, можно пытаться решать такую задачу: база конечномерна, но на ней живёт Тэйтовский алгеброид Ли. Откуда такое может взяться, это другой вопрос. Ну вот, и у этого алгеброида Ли можно пытаться брать полубесконечные внешние степени. Чтб такое имело смысл, надо тривиализовать некий жерб на этой самой базе. Возможно, это означает -- выбрать что-то такое глобально, например, "полубесконечное слоение", а может, и трансверсаль к нему.

[posic.livejournal.com]

Это я понимаю. Мой вопрос был про другое: я вижу у Володи обсуждение случая, когда база есть схема, хотя бы и бесконечномерная, а обсуждения случая, когда база есть инд-схема, не вижу. На самом деле, у меня нет сейчас последней версии его текста, есть некий явный черновик. Писал ли кто-нибудь что-нибудь про тейтовские расслоения над инд-схемами именно, а не только над схемами? Или это легко, поскольку ограничение тейтовского расслоения со схемы на замкнутую подсхему есть хорошая операция?

[hippie57.livejournal.com]

Не знаю. Надо посмотреть.

[hippie57.livejournal.com]

Забавно, что, похоже, тебе важней внутренняя структура возможной теории, чем то, что такие звери в окружающем математическом мире уже есть, но под другим именем.

[posic.livejournal.com]

Да, конечно. Так всегда было.

[posic.livejournal.com]

По существу же, в данной конкретной ситуации, я не знаю о существовании такого же зверя под каким-либо другим именем. Мечта о контракогерентных пучках состоит не в том, чтобы определить пучок функций на инд-схеме, а в том, чтобы определить абелеву категорию, одним из объектов которой (возможно, даже проективным объектом, но не уверен) был бы пучок функций на инд-схеме. Это как минимум, а дальше еще можно хотеть производного комодульно-контрамодульного соответствия, тензорной структуры на контракогерентных пучках, и т.д.

[hippie57.livejournal.com]

Ну конечно. Но, например, мир, в котором у инд-схемы инд-бесконечного типа (но относительные коразмерности всё время конечны) есть дуализирующий комплекс, а посему и полубесконечные когомологии, геометрические, такой мир очень нужен людям. См. рассуждения в конце нашей с Капрановым статейки.

То есть запросов на мир, в котором все такие экзотические объекты могли бы жить, полно. Надо только распознать, какие из них могли бы быть про ту геометрию, которая как бы контракогерентная.

[posic.livejournal.com]

Что толку распознавать запросы? Сделаешь что-нибудь якобы по запросу, а якобы авторам якобы запроса все равно лень это учить. Зато что-нибудь другое кто-нибудь другой пускает в дело без всяких предварительных запросов, обычно потому, что оно есть простая штуковина, которая учится легко и приятно.

Ну т.е. неплохо бы, конечно, и распознать, но все это вторично по отношению к внутренней структуре и логике предполагаемой теории, да. Другое дело, если к запросам прилагаются идеи. Но и они имеют не первостепенное значение, посколько если бы их можно было реализовать напрямую, это бы уже сделали авторы запроса.

[hippie57.livejournal.com]

Но и они имеют не первостепенное значение, посколько если бы их можно было реализовать напрямую, это бы уже сделали авторы запроса.

А вот это вряд ли -- обычно запрос происходит из чужой области, где интуиция есть, а средств ее реализации нет. По крайней мере, с Фейгиным всегда было так.

[posic.livejournal.com]

Когда запрос и интуиция поставляются в комплекте, скорее всего можно предположить, что комплектация неудачна. Прогресс происходит от подбора таких сочетаний задач и интуиций, при которых вторая решает первую. Существование же комплекта указывает на то, что решить данную задачу с помощью данной интуиции уже пробовали и это не получилось.