Мечтая о контракогерентных пучках
Jan. 9th, 2010 11:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic0. С инд-нетеровой инд-схемой, определенной индуктивной системой замкнутых вложений схем, можно связать локально нетерову абелеву категорию Гротендика -- категорию квазикогерентных пучков кручения. Она определяется просто как прямой предел категорий квазикогерентных пучков на замкнутых подсхемах относительно функторов прямого образа при замкнутых вложениях.
1. Что можно связать с локально нетеровой абелевой категорией Гротендика? В диссертации Габриеля, параграфы IV.3-4, объясняется, что всякая локально конечная абелева категория Гротендика антиэквивалентна категории псевдокомпактных топологических модулей над псевдокомпактным топологическим кольцом.
2. Там же в замечании говорится что-то про обобщение этого на случай локально нетеровых категорий, с соответствующим ослаблением условия псевдокомпактности (т.е., конечности длины дискретных факторов) до условия артиновости дискретных факторов. Будем считать, что в обоих случаях речь идет о правых модулях.
3. Нельзя ли, наряду с этим, представить произвольную локально нетерову категорию Гротендика как категорию дискретных правых модулей над топологическим кольцом, в котором базу окрестностей нуля образуют правые идеалы, факторы по которым являются нетеровыми правыми модулями?
4. В контексте любой из ситуаций 1-3, нельзя ли как-нибудь установить, что топологическое кольцо определяется соответствующей категорией Гротендика почти однозначно, и в частности, исходной категорией Гротендика однозначно определяется абелева категория левых контрамодулей над этим топологическим кольцом?
5. Если пункты 3-4 проходят, это дает нам некое определение категории контракогерентных пучков над инд-нетеровой инд-схемой. В частности, просто для нетеровой схемы может получиться решение неразрешимой задачи.
Дополнение: во всяком случае, если категории правых комодулей над двумя коалгебрами (над полем) эквивалентны, то эти коалгебры Морита-эквивалентны в самом сильном смысле, так что и категории левых комодулей и левых контрамодулей над этими двумя коалгебрами тоже эквивалентны.
1. Что можно связать с локально нетеровой абелевой категорией Гротендика? В диссертации Габриеля, параграфы IV.3-4, объясняется, что всякая локально конечная абелева категория Гротендика антиэквивалентна категории псевдокомпактных топологических модулей над псевдокомпактным топологическим кольцом.
2. Там же в замечании говорится что-то про обобщение этого на случай локально нетеровых категорий, с соответствующим ослаблением условия псевдокомпактности (т.е., конечности длины дискретных факторов) до условия артиновости дискретных факторов. Будем считать, что в обоих случаях речь идет о правых модулях.
3. Нельзя ли, наряду с этим, представить произвольную локально нетерову категорию Гротендика как категорию дискретных правых модулей над топологическим кольцом, в котором базу окрестностей нуля образуют правые идеалы, факторы по которым являются нетеровыми правыми модулями?
4. В контексте любой из ситуаций 1-3, нельзя ли как-нибудь установить, что топологическое кольцо определяется соответствующей категорией Гротендика почти однозначно, и в частности, исходной категорией Гротендика однозначно определяется абелева категория левых контрамодулей над этим топологическим кольцом?
5. Если пункты 3-4 проходят, это дает нам некое определение категории контракогерентных пучков над инд-нетеровой инд-схемой. В частности, просто для нетеровой схемы может получиться решение неразрешимой задачи.
Дополнение: во всяком случае, если категории правых комодулей над двумя коалгебрами (над полем) эквивалентны, то эти коалгебры Морита-эквивалентны в самом сильном смысле, так что и категории левых комодулей и левых контрамодулей над этими двумя коалгебрами тоже эквивалентны.
