Каждые 10 лет в математике полностью меняется язык

[posic]

говорил Гельфанд.

Сейчас, например, судя по MathOverflow, самое важное слово -- "(∞,1)-категории". Определяются они как ∞-категории, у которых все клетки размерности 2 и выше обратимы. Среди (∞,1)-категорий имеются стабильные (∞,1)-категории, определяемые как такие (∞,1)-категории, в которых имеется нулевой объект, существуют (гомотопические) ядра и коядра, и треугольники обладают хорошими свойствами. Энтузиасты считают, что понятие стабильной (∞,1)-категории является правильной заменой понятия триангулированной категории. В характеристике 0 оно эквивалентно понятию DG-категории или A_∞-категории, как они утверждают.

Comments

[jedal]

> Определяются они как ∞-категории, у которых все клетки размерности 2 и выше обратимы.

Вроде бы это скорее идея, чем определение: что такое просто ∞-категории никто толком не знает (?), а (∞,1)-категории — пожалуйста (можно считать, что это топологические категории, или слабые комплексы Кана, или симплициальные категории...).

[posic.livejournal.com]

Похоже, вы правы. Я почему-то думал, что Лурье придумал "правильное" определение ∞-категории, но объяснения по ссылкам в этом разубеждают.

[hippie57.livejournal.com]

Лури придумал много определений поликатегорий. Квазикатегории -- это из его диссера. Сейчас есть неудобочитаемое, но работающее определение бесконечность-эн категории, у Лури же. Так что я бы не зарекался -- поликатегорий много, хороших и разных, хвалить квазикатегории -- это примерно как хвалить одну конкретную резольвенту. У алгебраических топологов есть много моделей для теории поликатегорий. Чего нет, так это теории, независимой от модели.

[jedal]

> Лури придумал много определений поликатегорий. <...> Сейчас есть неудобочитаемое, но работающее определение бесконечность-эн категории, у Лури же.

А где про это (определение n-категории при n>2 или (\infty,n)-категории для n>1) можно прочитать, действительно?

[hippie57.livejournal.com]

В его статье про обобщенную гипотезу о кобордизме.

[jedal]

Я не понял, наверное. Или вместо "Лури придумал много определений" нужно читать "Barwick придумал некоторое определение"?

[hippie57.livejournal.com]

У кого Лури прочитал правильное определение, прежде чем его круто использовать и популярозорпвать, это пузомерочный вопрос. Мне пофиг -- пузо Лури вполне достаточно, чтоб за него не драться на дуэли. В определении из той статьи важно не кто его придумал, а насколько оно правильное. По мне -- оно не окончателное просто по той причине, что с каждым следующим шагом поликатегорности, то есть когда следующей размерности морфизмам разрешается быть необратимыми, итеративно возрастает сложность определения. Может, это факт жизни, но я ему не рад.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Только надо иметь ввиду, что определение (∞,n)-категории через пространства Сигала в статье Лури довольно-таки неуклюжее, и, судя по всему, выбрано только по той причине, что других
приемлимых определений на тот момент не было.

[hippie57.livejournal.com]

А сейчас есть? Поделитесь ссылкой, плс.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

И сейчас вроде бы нет, я знаю только про (∞,2)-категории,
про которые всё тот же Лури написал статью:
http://math.harvard.edu/~lurie/papers/GoodwillieI.pdf

[hippie57.livejournal.com]

Я это всё если не изучал, от видел, но хочется, конечно, чтоб 1 там, 2 или эн были совершенно равноправны, то есть вот слабое условие Кана -- это круто, это наглядно, ясно, что оно означает в смысле обратимости стрелок и т.д. Как мнинимум мне хотелось бы столь же ясного условия необратимости/обратимости с точностью до ... и высших морфизмов. Я, конечно, не алгебраический тополог. Возможно, правильная интуиция другая. Но хочется такой организации этой науки, чтоб 1) ей можно было пользоваться с той же естественностью, с которой мы нынче пользуемся триангулированными и диф-град категориями 2) чтобы определения были достаточно интитивны, то есть чтобы их с некоторой точки зрения можно было бы знать, но забыть (и в любой момент вспомнить, если надо).

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Кажется, появился кандидат:
http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00449826/fr/
Изучаю…

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Энтузиасты считают, что понятие стабильной (∞,1)-категории является правильной заменой понятия триангулированной категории.

Точнее, это замена понятия стабильной модельной категории.
Заменой понятия триангулированной категории является гомотопическая категория стабильной (∞,1)-категории (которая, как показано в статье Лури, имеет каноническую триангулированную структуру).

Я где-то читал про такую аналогию:
(∞,1)-категории — линейная алгебра без координат (категория векторных пространств);
модельные категории — линейная алгебра с координатами (категория матриц);
триангулированные категории — классы изоморфизмов векторных пространств (π_0 от категории векторных пространств или матриц).

[posic.livejournal.com]

Если стабильные (∞,1)-категории -- это векторные пространства, а триангулированные категории -- это классы изоморфизма векторных пространств, то это и значит, что стабильные (∞,1)-категории являются правильной заменой триангулированных категорий. Другой вопрос, справедлива ли эта аналогия.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

> Каждые 10 лет в математике полностью меняется язык

А пытался ли кто-нибудь описать основные черты этих изменений (особенно эволюцию за последние 40 лет)?

[posic.livejournal.com]

По-моему, нужно очень по-Гельфандовски смотреть на вещи, чтобы видеть в движениях математической моды изменения одного только языка, а не собственно математических проблем, к которым привлечено внимание. Скажем, очень грубо, в 80-е все интересовались превратными пучками, в 90-е -- квантовыми группами, в конце 90-х и начале 00-х -- формальностью Концевича, а под конец 00-х -- бесконечность-категориями по Лурье. Но чтобы видеть, почему все это одно и то же, только язык разный, надо быть Гельфандом.

Я имел в виду более узкий аспект -- вот были триангулированные категории, были модельные категории, были DG-категории, A_∞-категории, а теперь у нас, значит, (∞,1)-категории. Только я успел чуть-чуть модельные категории подучить, как теперь уже на этом языке никто не говорит.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Спасибо!