Многообразие лиевских структур приводимо; полупростые в нем открыты, но не плотны

[posic]

В который раз объясняю этот любимый сюжет -- http://mathoverflow.net/questions/9661/is-semisimple-a-dense-condition-among-lie-algebras/9668#9668

А вот плотны ли редуктивные среди унимодулярных, я не знаю. В размерности 4, например, можно задаться этим вопросом. [Update: нет, не плотны, ни в какой размерности, начиная с 4 включительно; там еще, как минимум, целая бесконечная последовательность уравнений; см. пояснения lenik_r в комментах. UUpdate: даже не все нильпотентные лежат в замыкании редуктивных.]

P.S. Другой вариант того же наблюдения: многообразие комплексов приводимо; ацикличные в нем открыты, но не плотны. Установить открытость ацикличных комплексов можно, сформулировав ацикличность как условие на сумму рангов входящего и исходящего отображений в каждый член комплекса (в развитие этого вопроса, есть интересная наука про кручение Уайтхеда). А чтобы установить неплотность, достаточно заметить, что в отрезке комплекса 0 -> U -> V -> W в члене U всегда будет ненулевая когомология, если ранг отображения V -> W достаточно велик.

Comments

[lenik-r.livejournal.com]

> плотны ли редуктивные среди унимодулярных

тоже нет -- т.к. Tr ad(x)^3 == 0 для всех редуктивных, а для унимодулярных разрешимых это не всегда так (и в размерности 4 уже пример есть)

[posic.livejournal.com]

Ой, как интересно! А почему Tr ad(x)^3 = 0 для редуктивных?

[lenik-r.livejournal.com]

собственные значения ad x входят парами с противоположными знаками для полупростых x, которые всюду плотны. или я чего-то не понимаю?

[lenik-r.livejournal.com]

и вообще ad x кососимметричны относительно инвариантной формы (какой-нибудь невырожденной)

[posic.livejournal.com]

Верно, да. Замечательно. А среди удовлетворяющих уравнениям Tr ad(x)^n = 0 для всех нечетных n, редуктивные плотны?

[lenik-r.livejournal.com]

не знаю. хороший вопрос, да

[posic.livejournal.com]

Мне как раз задали сейчас на MathOverflow этот вопрос, ответ на который ты мне объяснил. Я могу сослаться на тебя по имени?

[lenik-r.livejournal.com]

да, конечно:)

кстати, вроде все равно редуктивные не плотны. Есть 2n+1-мерная алгебра Гейзенберга, нильпотентная, и поэтому Tr ad(x)^n = 0. Но размерность общей коприсоединенной орбиты у нее 2n, т.е. больше, чем у любой редуктивной такой размерности. а при переходе к замыканию размерность орбит вроде не подскакивает..

[hippie57.livejournal.com]

Приезжал к нам некий бывший студент Дринфельда, сейчас постдок в Беркли. Он занимается методом орбит для конечных нильпотентных групп. Там главное средство -- кольцо Ли такой группы, тоже нильпотентное. Всяческие Гейзенберги там типичные примеры. Так вот, многообразие подколец Ли максимального чего-то там в таком кольце Ли, взявшемся из р-группы, -- это какой-то кошмарный обьект. Даже связность его вызывает вопросы, не оговря о структуре.

[lenik-r.livejournal.com]

а что такое метод орбит для конечной группы? это он к характер-пучкам каким-нибудь?
..в книжке Кириллова по методу орбит даже есть картинка пространства модулей то ли 3-мерных, то ли 4-мерных нильпотентных алгебр Ли -- ничего хорошего для более высоких размерностей она не предвещает:))

[posic.livejournal.com]

Верно, да. Алгебраически это говорится так: для любой алгебры Ли g, рассмотрим ранг кососимметрической формы f([x,y]) на g, где f -- общая линейная функция на g. Ясно, что при переходе к замыканию по Зарисскому этот ранг не подскакивает.

[(Anonymous)]

Более того, размерность орбиты - единственная величина (по крайней мере, из известных мне), которая обязательно изменяется (т.е., уменьшается) при собственном вырождении (контракции).