Все плоские модули над артиновым кольцом проективны

[posic]

Это известно со времен диссертации Басса (конец 1950х годов), а может быть, и раньше. В частности, над конечномерной ассоциативной алгеброй над полем, все плоские модули проективны.

После недели размышлений, сегодня вечером я нашел новое и поистине удивительное доказательство этого факта. Вернее, не только этого факта, а его обобщения на относительный случай, когда базовое поле заменяется на произвольное ассоциативное кольцо. Поля этого блога слишком узки, но я надеюсь, что мое доказательство увидит свет в новой версии препринта, который я пишу.

Comments

[i_anatta]

А вы не знаете, есть ли какой-то нетривиальный "двойственный" аналог свойства кольца быть совершенным?

С одной стороны, есть замечательная пара теорем (Чейза и Паппа): кольцо артиново <=> проективные модули замкнуты относительно произведений; кольцо нётерово <=> инъективные модули замкнуты относительно сумм.

Совершенное кольцо это то, над которым все модули имеют проективный cover; или то, над которым плоские модули проективны (иначе говоря, проективные замкнуты относительно фильтрованных копределов). Но любой модуль имеет иньективную оболочку, и любой модуль является кофильтрованным пределом иньективных... Кажется, должно быть содержательное свойство, формулирующееся в терминах поведения Крулль-Шмидтовской подкатегории инъективных (тех модулей, у которых все костепени инъективны) внутри всех/всех инъективных модулей, но в литературе такого, кажется, нет.

...Вообще этого сорта "двойственности" хотелось бы уметь формулировать в терминах эквивалентности имени Грюзона-Ауслендера между coh(coh(R-mod)) и coh(coh(mod-R)), но неясно, как именно.

[posic]

> кольцо артиново <=> проективные модули замкнуты относительно произведений

Это неверно. Теорема Чейза утверждает другое. Произведения проективных левых R-модулей проективны тогда и только тогда, когда кольцо R совершенно слева и когерентно справа. Артиновы справа кольца удовлетворяют этим двум условиям, но не всякое кольцо, удовлетворяющее этим двум условиям, артиново с какой-либо стороны.

Мне кажется, что треугольное 2×2 матричное кольцо

k V
0 k

где V -- бесконечномерное векторное пространство над полем k, должно быть контрпримером неартинова (и ненетерова) ни с одной стороны кольца, которое когерентно и совершенно с обеих сторон.

[i_anatta]

Прошу прощения, спросонья все кольца немного коммутативны...

Я пытался сформулировать примерно следующее (в этот раз, надеюсь, без ошибок).

Кольцо R совершенно слева титтк выполнено dcc на главные правые идеалы; это эквивалентно (...не получается сходу воспроизвести доказательство, но должно быть в книжке Лама о некоммутативных кольцах) dcc на конечнопорождённые правые идеалы. Это тавтологически эквивалентно тому, что R это артинов объект в аддитивной категории конечнопорожденных правых R-модулей.

С этой точки зрения критерий Чейза можно сформулировать так.

Произведения левых проективных модулей проективны титтк выполнено два условия:

1) произведения левых плоских модулей плоские, т. е. R когерентно справа, т. е. mod-R является абелевой категорией;

2) абелева категория mod-R имеет артинов генератор (само кольцо).

Ну и вот в этом разрезе можно попробовать подумать в таком направлении.

Зазор между артиновыми и когерентными+совершенными кольцами - это зазор между артиновостью объекта R в R-Mod и в Fun+(mod-R, Ab) - свободном инд-пополнении компактов; мой вопрос, наверное, про то, есть ли разница между нётеровостью R в Mod-R, и нётеровостью в свободном про-пополнении компактных объектов, и как это можно было бы связать явно со свойствами различных категорий топологических модулей над кольцом R, с топологией, порождённой аннуляторами элементов.

(Подозреваю, что в статьях Габриеля, Руса и Оберста можно это вычитать, но у меня не получилось.)

[posic]

Да, так я согласен. Критерий Чейза говорит, что произведения проективных левых R-модулей проективны тогда и только тогда, когда категория конечно-представимых правых R-модулей абелева и артинова (т.е., убывающие цепочки конечно-представимых правых R-модулей обрываются). Это хорошее наблюдение.

Теорема, которая, как вы говорите, "должна быть в книжке Лама", принадлежит Яну-Эрику Бьёрку. "Rings satisfying a minimum condition on principal ideals", Crelle's Journ. 236, 1969.

Но нет, категория инд-объектов в категории конечно-представимых R-модулей -- это в точности категория R-модулей. Никакого зазора между R-Mod и категорией инд-объектов в R-mod нет, это одно и то же. Зазор есть между артиновостью в R-Mod = Ind(R-mod) и артиновостью в R-mod.