Для etre_moral, про произведение Сегре

[posic]

Если произведение Сегре операд не сохраняет кошулевость, может быть, хотя бы произведение операды на алгебру ее сохраняет?

Пусть O -- операда с дополнительной неотрицательной градуировкой, сохраняемой операдной композицией, а A -- кошулева алгебра. Определим новую градуированную операду O_°A так: для любых n и k, компоненту градуировки n в пространстве k-арных операций операды O заменим на ее тензорное произведение на A_n. В частности, если O -- операда без дополнительной градуировки, не имеющая 0-арных операций, определим на ней дополнительную градуировку очевидным правилом n=k-1. Тогда (O_°A)(k) := O(k)⊗A_k-1.

Сохраняет ли эта операция кошулевость операды O? Можно ли, взяв за A конечномерную кошулеву алгебру, использовать эту операцию для "обрезания" явлений, связанных с операдой O, в градуировках выше заранее выбранной (как это делается для градуированных алгебр)?

Update: все сложнее -- см. комменты.

Comments

[etre-moral.livejournal.com]

Я правильно понимаю, что алгебра у тебя коммутативная, да? (Чтобы операдная композиция была ассоциативна.)

Эту операцию (в упрощённом варианте без градуировки, как в твоём частном случае) мы с Антоном изучали. Ответ - вообще говоря, не сохраняет. Пример: свободная операда с одной (скажем, кососимметричной) образующей, алгебра - полиномы от двух переменных. Тем не менее, если операда не очень велика (это можно точно сформулировать), а алгебра не только кошулева, но даже ПБВ, то кошулевость сохраняется. Насколько это можно применить буквально - думаю, что можно, но некоторые небольшие проверки, что надо сделать, я пока ленюсь проделать, поскольку в процессе записывания другого, связанного с этим результата.

[posic.livejournal.com]

Да, ты прав: что тут нужна коммутативность, я как-то не заметил.

Если какое-то чисто гомологическое утверждение верно для всех PBW-алгебр, то оно и для всех кошулевых алгебр должно быть верно, мне кажется. Хотя если речь идет о коммутативных алгебрах, то я уже не так уверен в этом (или любом другом) утверждении.

По градуированной коммутативной алгебре можно очевидным образом построить операду, и наше умножение Сегре на такую алгебру есть просто умножение Сегре на соответствующую операду.

Может быть, лучше зайти с другой стороны. Ограничимся пока упрощенным вариантом без градуировки. Определим умножение Сегре операд P_°Q как операду, составленную из пространств (P_°Q)(n) = P(n)⊗Q(n) (как ты мне объяснял, такая операция на операдах не сохраняет даже квадратичность, но мы об этом переживать не будем). Назовем операду Q хорошей, если для любой кошулевой операды P операда P_°Q кошулева.

Как я понимаю, все хорошие операды кошулевы (достаточно взять за P операду Com), но не все кошулевы операды хорошие. Что можно сказать о классе хороших операд? Есть ли нетривиальные примеры таковых?

У меня была философия (кажется, не вошедшая в книжку), что кошулевы алгебры выделяются, среди прочего, как "приспособленные объекты" к операции взятия универсальной кодействующей (внутренних когомоморфизмов, cohom) градуированных алгебр. Или, что примерно то же самое, как такие алгебры A, что биградуированная Ext-алгебра алгебры A_°B восстанавливается по A и Ext-алгебре B. Ну, или даже не Ext-алгебра, а просто биградуированное пространство Ext(k,k) так восстанавливается.

Не уверен, что я когда-либо знал какой-либо аргумент к тому, почему все "приспособленные" алгебры кошулевы, впрочем (что кошулевы алгебры обладают указанными свойствами у нас, как я надеюсь, доказывается). Но тем не менее -- может быть какие-то "приспособленные к Сегре" операды, даже если не совпадают с кошулевыми, все равно образуют интересный класс?

[etre-moral.livejournal.com]

Надо подумать - я не знаю сходу ни одной нетривиальной хорошей операды. (Тривиальные - это коммутативная, и операда с тождественно нулевой композицией.) Есть разные достаточные условия того, чтобы произведение Сегре с любой квадратичной операдой было снова квадратичной операдой - философия гласит, что для этого достаточно, чтобы операда была "достаточно маленькой" в некотором точно формулируемом смысле.