Неоднородная горенштейновость по Артину-Шельтеру

[posic]

Классически известно понятие положительно градуированной алгебры, горенштейновой по Артину-Шельтеру. Это такие некоммутативные алгебры, с гомологической точки зрения очень похожие на алгебры коммутативных многочленов от конечного числа переменных.

Пусть C -- конильпотентная коалгебра; тогда, с точностью до изоморфизма, существует единственный (левый или правый) одномерный C-комодуль, и единственный одномерный C-контрамодуль. Конильпотентная коалгебра C называется горенштейновой по Артину-Шельтеру размерности d, если она имеет конечную гомологическую размерность, и функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит одномерный С-комодуль в одномерный С-контрамодуль, сдвинутый в когомологической степени на d, и обратно.

Гипотеза:
0. Конильпотентная коалгебра C, горенштейнова по Артину-Шельтеру размерности d, имеет гомологическую размерность d. Также и наибольшая степень ненулевых элементов в Ext_C(k,k) равна d.
1. Конильпотентная коалгебра C является горенштейновой по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра Ext_C(k,k) фробениусова. При этом компонента Ext_C^d(k,k) одномерна, и умножение, бьющее в эту компоненту, как раз и задает невырожденное спаривание на Ext_C(k,k).

Поскольку градуированные алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру, в любом случае имеют конечномерные компоненты, с ними можно связать градуированно-двойственные к ним коалгебры, которые тоже должны быть горенштейновы по Артину-Шельтеру. Переход к коалгебрам должен позволить увеличить общность, избавившись от требования существования градуировки в определении горенштейновости по Артину-Шельтеру. Также он должен облегчить использование производной кошулевой двойственности/тройственности (в доказательстве вышеприведенной гипотезы).

В числе примеров конильпотентных коалгебр, горенштейновых по Артину-Шельтеру (размерности d) должны быть конильпотентные кообертывающие коалгебры конечномерных (ко)нильпотентных (ко)алгебр Ли (размерности d).

***

Это все очень похоже на правду, но самое интересное не это, а -- что такое (ко)алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру размерности бесконечность? Ясно, что условие конечности гомологической размерности надо отбросить, а условие на функтор комодульно-контрамодульного соответствия переписать так, что он должен переводить одномерный ко/контрамодуль в ацикличный комплекс. На языке градуированных алгебр, это будет Ext_A(k,A)=0. Очевидно также, что этого условия недостаточно. Ну, и на что нужно заменить свойство фробениусовости, тоже непонятно.

Comments

(продолжение рецензии в mathscinet)

[piont.livejournal.com]

Now, besides the elements $g_1$ and $g_2$ there is a third element $t \in k$ of relevance. It takes some computations to see that if $A$ is $(m_2,m_3)$-generic, then exactly one of the five elements $1-tg_1^sg_2^{4-s}$, $s=0,\dots,4$, must be zero. The authors quickly rule out the possibilities $s=0,1,4$, but much more work is required to rule out the case $s=2$ (it turns out that there are no AS regular algebras satisfying any of these relations). Only the case $s=3$ remains, and the algebras corresponding to this case are indeed regular. However, it takes quite a bit of (and hard) ``case by case analysis'' to finish the classification from here.
Reviewed by Henrik Holm

Re: (продолжение рецензии в mathscinet)

[posic.livejournal.com]

Ага, вот оно -- http://arxiv.org/abs/math/0411497
А также -- http://arxiv.org/abs/0710.5492
Спасибо!