Неоднородная горенштейновость по Артину-Шельтеру

[posic]

Классически известно понятие положительно градуированной алгебры, горенштейновой по Артину-Шельтеру. Это такие некоммутативные алгебры, с гомологической точки зрения очень похожие на алгебры коммутативных многочленов от конечного числа переменных.

Пусть C -- конильпотентная коалгебра; тогда, с точностью до изоморфизма, существует единственный (левый или правый) одномерный C-комодуль, и единственный одномерный C-контрамодуль. Конильпотентная коалгебра C называется горенштейновой по Артину-Шельтеру размерности d, если она имеет конечную гомологическую размерность, и функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит одномерный С-комодуль в одномерный С-контрамодуль, сдвинутый в когомологической степени на d, и обратно.

Гипотеза:
0. Конильпотентная коалгебра C, горенштейнова по Артину-Шельтеру размерности d, имеет гомологическую размерность d. Также и наибольшая степень ненулевых элементов в Ext_C(k,k) равна d.
1. Конильпотентная коалгебра C является горенштейновой по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра Ext_C(k,k) фробениусова. При этом компонента Ext_C^d(k,k) одномерна, и умножение, бьющее в эту компоненту, как раз и задает невырожденное спаривание на Ext_C(k,k).

Поскольку градуированные алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру, в любом случае имеют конечномерные компоненты, с ними можно связать градуированно-двойственные к ним коалгебры, которые тоже должны быть горенштейновы по Артину-Шельтеру. Переход к коалгебрам должен позволить увеличить общность, избавившись от требования существования градуировки в определении горенштейновости по Артину-Шельтеру. Также он должен облегчить использование производной кошулевой двойственности/тройственности (в доказательстве вышеприведенной гипотезы).

В числе примеров конильпотентных коалгебр, горенштейновых по Артину-Шельтеру (размерности d) должны быть конильпотентные кообертывающие коалгебры конечномерных (ко)нильпотентных (ко)алгебр Ли (размерности d).

***

Это все очень похоже на правду, но самое интересное не это, а -- что такое (ко)алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру размерности бесконечность? Ясно, что условие конечности гомологической размерности надо отбросить, а условие на функтор комодульно-контрамодульного соответствия переписать так, что он должен переводить одномерный ко/контрамодуль в ацикличный комплекс. На языке градуированных алгебр, это будет Ext_A(k,A)=0. Очевидно также, что этого условия недостаточно. Ну, и на что нужно заменить свойство фробениусовости, тоже непонятно.

Comments

[piont.livejournal.com]

> Выполняется ли там моя гипотеза, что ряд Гильберта <...>?

Вроде, да:

MR2309153 (2008d:16022)
Lu, D.-M.(PRC-ZHJ); Palmieri, J. H.(1-WA); Wu, Q.-S.(PRC-FUDAN); Zhang, J. J.(1-WA)
Regular algebras of dimension 4 and their $A_\infty$-Ext-algebras. (English summary)
Duke Math. J. 137 (2007), no. 3, 537--584.
16E65 (14A22 16W50)
PDF Doc Del Clipboard Journal Article Make Link

Due to its connections with noncommutative projective geometry and mathematical physics, the classification of Noetherian, Artin-Schelter (AS) regular, connected graded algebras of global dimension 4 is an important project. This article is a significant contribution in this direction.

We begin by describing the main results of the paper: For any base field $k$, the authors provide a list of four families (a), (b), (c), and (d) of (non-Koszul) AS regular algebras of global dimension 4 for which they prove three strong results: \roster \item"A." If $k$ is algebraically closed, then the list above---after deleting some special cases in each family---is, up to isomorphism, a complete list of Noetherian $(m_2,m_3)$-generic AS regular algebras of global dimension 4 which are generated by two elements in degree 1. \item"B." The list above is, up to isomorphism, a complete list of Noetherian AS regular $\Bbb{Z}^2$-graded algebras of global dimension 4 which are generated by two elements of degrees $(1,0)$ and $(0,1)$. \item"C." All of the algebras in the list above are strongly Noetherian, Auslander regular, and Cohen-Macaulay. \endroster

Among the notions not defined in the paper, the authors recall the most important ones for the benefit of the reader.

Next we outline some of the authors' techniques for proving the classification: Let $A$ be a (not necessarily Noetherian) graded AS regular algebra of global dimension 4 which is generated in degree 1, and which is a domain or of Gelʹfand-Kirillov dimension $\geq 3$.

First the authors compute the possible Hilbert series $H_A(t)$ of $A$ and the possible minimal free resolutions $F_\bullet$ of the trivial $A$-module $k$. It turns out that $A$ must have one of three types: (12221), (13431), or (14641), where the numbers refer to the powers of (shifts of) $A$ occurring in $F_\bullet$.

From these computations one can narrow down the possible $A_\infty$-structures $(E,m_1,m_2,\ldots)$ on the Ext-algebra $E={\rm Ext}^*_A(k,k)$; see [B. Keller, Algebr. Represent. Theory 3 (2000), no. 4, 357--376; MR1808132 (2002b:16018); Homology Homotopy Appl. 3 (2001), no. 1, 1--35 (electronic); MR1854636 (2004a:18008a); addendum, Homology Homotopy Appl. 4 (2002), no. 1, 25--28 (electronic); MR1905779 (2004a:18008b); in Representations of algebra. Vol. I, II, 74--86, Beijing Norm. Univ. Press, Beijing, 2002; MR2067371 (2005b:16021)] for more details on $A_\infty$-algebras.

The rest of the paper deals with type (12221). Here $$E\cong k\oplus E^1_{-1}\oplus(E^2_{-3}\oplus E^2_{-4})\oplus E^3_{-6}\oplus E^4_{-7}$$ as a $\Bbb{Z}^2$-graded vector space (the lower index is the grading inherited from the grading of $A$); and as an $A_\infty$-algebra one has $m_i=0$ for $i\geq 5$.

In order to describe how the $(m_2,m_3)$-generic requirement comes into play, we mention that it consists of conditions (GM2) and (GM3) on $m_2$ and $m_3$, and provide a few details about (GM2):

The authors argue that one can choose bases for $E^1$, $E^3$, and $E^4$ such that the matrices representing the maps $$m_2\colon E^1_{-1}\otimes E^3_{-6}\longrightarrow E^4_{-7}\quad \text{and}\quad m_2\colon E^3_{-6}\otimes E^1_{-1}\longrightarrow E^4_{-7}$$ are, respectively, the identity matrix and a matrix of the form $$\left(\matrix g_1&0\\ 0&g_2\endmatrix\right)\quad \text{or}\quad \left(\matrix g_1&1\\ 0&g_2\endmatrix\right),$$ where $g_1,g_2\neq 0$. Condition (GM2) states that $(g_1g_2^{-1})^i \neq 1$ for $1\le i\leq 4$.

(продолжение рецензии в mathscinet)

[piont.livejournal.com]

Now, besides the elements $g_1$ and $g_2$ there is a third element $t \in k$ of relevance. It takes some computations to see that if $A$ is $(m_2,m_3)$-generic, then exactly one of the five elements $1-tg_1^sg_2^{4-s}$, $s=0,\dots,4$, must be zero. The authors quickly rule out the possibilities $s=0,1,4$, but much more work is required to rule out the case $s=2$ (it turns out that there are no AS regular algebras satisfying any of these relations). Only the case $s=3$ remains, and the algebras corresponding to this case are indeed regular. However, it takes quite a bit of (and hard) ``case by case analysis'' to finish the classification from here.
Reviewed by Henrik Holm

Re: (продолжение рецензии в mathscinet)

[posic.livejournal.com]

Ага, вот оно -- http://arxiv.org/abs/math/0411497
А также -- http://arxiv.org/abs/0710.5492
Спасибо!