Точные тройки кошулевых алгебр

[posic]

Пусть A -- кошулева алгебра, и пусть U -- векторное подпространство в A₁. Рассмотрим следующий набор условий:
1. Подалгебра B в A, порожденная U, кошулева.
2. A является свободным левым B-модулем.
3. Правый идеал, порожденный B₁=U в A, является двусторонним идеалом.
Если эти условия выполнены, то алгебра C = A/UA является кошулевым правым A-модулем и (следовательно) кошулевой алгеброй. Ряд Гильберта алгебры A, разумеется, является произведением рядов Гильберта алгебр B и C.

Набор условий 1-3 автодуален, т.е. переводится квадратичной двойственностью (заменой A на A^! и U на U^⊥) в себя. Роли алгебр B и C при такой двойственности меняются местами.

Если обозначить A₁ = V и A = T(V)/(R), то условия 1-3 эквивалентны следующим:
(а) V⊗U ⊂ U⊗V + R.
(б) U⊗V ∩ R ⊂ V⊗U.
(в) Для любого n, решетка подпространств в V^⊗n, состоящая из стандартных n-1 подпространств, зависящих от R (дистрибутивность которых означает кошулевость A) и подпространства U⊗V^⊗n-1, дистрибутивна.

Отметим, что условие 1 само по себе эквивалентно дистрибутивности решеток подпространств в V^⊗n, состоящих из стандартных n-1 подпространств, зависящих от R, и подпространства U^⊗n. Я сейчас не проверял, но насколько помнится из времен стародавних, последнее свойство выводится напрямую решеточными вычислениями из свойств (а-в) или даже, скорее, подходящих двух из этих трех свойств (б-в). При этом устанавливается, что в предположении этих двух свойств дистрибутивна на самом деле решетка, состоящая из n-1 стандартных подпространств и подпространства U^⊗j⊗V^⊗n-j для любого j (а может быть даже, и или, что то же самое, всех таких подпространств по всем j одновременно -- не помню это заведомо то же самое, поскольку эти последние подпространства образуют фильтрацию).

Update: следующий шаг должен был бы состоять в том, чтобы как-нибудь заменить V на тейтовское векторное пространство, U -- на его компактное открытое подпространство, а все тензорные произведения -- на топологическое тензорное произведение "со стрелочкой" (некоммутативное).

Comments

[posic.livejournal.com]

Более базовый и общий факт состоит в том, что квадратичная двойственность трансформирует свойства модульной кошулевости морфизмов кошулевых алгебр в свойства модульной свободности и наоборот. Например, если B→A -- морфизм кошулевых алгебр и A^!→B^! -- двойственный морфизм, то А является свободным левым B-модулем тогда и только тогда, когда B^! является кошулевым правым A^!-модулем.