Точные тройки кошулевых алгебр

[posic]

Пусть A -- кошулева алгебра, и пусть U -- векторное подпространство в A₁. Рассмотрим следующий набор условий:
1. Подалгебра B в A, порожденная U, кошулева.
2. A является свободным левым B-модулем.
3. Правый идеал, порожденный B₁=U в A, является двусторонним идеалом.
Если эти условия выполнены, то алгебра C = A/UA является кошулевым правым A-модулем и (следовательно) кошулевой алгеброй. Ряд Гильберта алгебры A, разумеется, является произведением рядов Гильберта алгебр B и C.

Набор условий 1-3 автодуален, т.е. переводится квадратичной двойственностью (заменой A на A^! и U на U^⊥) в себя. Роли алгебр B и C при такой двойственности меняются местами.

Если обозначить A₁ = V и A = T(V)/(R), то условия 1-3 эквивалентны следующим:
(а) V⊗U ⊂ U⊗V + R.
(б) U⊗V ∩ R ⊂ V⊗U.
(в) Для любого n, решетка подпространств в V^⊗n, состоящая из стандартных n-1 подпространств, зависящих от R (дистрибутивность которых означает кошулевость A) и подпространства U⊗V^⊗n-1, дистрибутивна.

Отметим, что условие 1 само по себе эквивалентно дистрибутивности решеток подпространств в V^⊗n, состоящих из стандартных n-1 подпространств, зависящих от R, и подпространства U^⊗n. Я сейчас не проверял, но насколько помнится из времен стародавних, последнее свойство выводится напрямую решеточными вычислениями из свойств (а-в) или даже, скорее, подходящих двух из этих трех свойств (б-в). При этом устанавливается, что в предположении этих двух свойств дистрибутивна на самом деле решетка, состоящая из n-1 стандартных подпространств и подпространства U^⊗j⊗V^⊗n-j для любого j (а может быть даже, и или, что то же самое, всех таких подпространств по всем j одновременно -- не помню это заведомо то же самое, поскольку эти последние подпространства образуют фильтрацию).

Update: следующий шаг должен был бы состоять в том, чтобы как-нибудь заменить V на тейтовское векторное пространство, U -- на его компактное открытое подпространство, а все тензорные произведения -- на топологическое тензорное произведение "со стрелочкой" (некоммутативное).

Comments

[sasha-br.livejournal.com]

A kakie est' neochevidnye primery?

[posic.livejournal.com]

Не знаю. Есть есть тензорные произведения кошулевых алгебр, скрученные на какой-нибудь оператор перестановки сомножителей, но это, скорее, тривиальные примеры.

Я об этом думаю не для того, чтобы у этого были примеры, а для этого, чтобы это само служило примером к http://posic.livejournal.com/308421.html

[piont.livejournal.com]

Наверное, в условии 3. правый идеал (а не левый) -- чтобы это условие было эквивалентно (а)?

[posic.livejournal.com]

Да, точно. Совсем запутался я с ними, забыл, где лево, где право.

[fandaal.livejournal.com]

так интересно читать))

[posic.livejournal.com]

Вы, похоже, не имеете отношения к математике? Тогда вы можете воспринимать это как музыку или стихи на китайском :-)

Я время от времени публикую здесь свои математические соображения. Иногда почаще, иногда пореже. Меня читают математики, которым это может быть до какой-то степени интересно, но в основном я просто записываю все это для себя.

[fandaal.livejournal.com]

да, нечто стихотворное или средневеково-мистическое)
математику разве что использую иногда, статистика там, программирование.
но это не такая математика)

[posic.livejournal.com]

Да, то, чем я занимаюсь -- это очень неприкладная такая математика.

[roma.livejournal.com]

Правда ли, что (в) -- это просто Кошулевость левого идеала порожденного U как А модуля?
Видно, что (а) <=> 3, а откуда берется (б)?

[posic.livejournal.com]

Правда ли, что (в) -- это просто Кошулевость левого идеала порожденного U как А модуля?

Правда (только скорее правого идеала, а не левого, как выше справедливо отмечают).

Видно, что (а) <=> 3, а откуда берется (б)?

Да, (а) <=> 3, а (б)+(в) <=> 1+2.

В частности, (б) -- это такой самый начальный кусочек 2. Надо взять фактормодуль (B(k+V))/B, он должен быть свободным В-модулем, а у него в градуировке 1 компонента V/U, а в градуировке 2 компонента U⊗V/(U⊗U + U⊗V∩R). Ну и вот нужно, чтобы второе пространство было изоморфно U ⊗ первое.

[roma.livejournal.com]

да, красиво

[posic.livejournal.com]

Более базовый и общий факт состоит в том, что квадратичная двойственность трансформирует свойства модульной кошулевости морфизмов кошулевых алгебр в свойства модульной свободности и наоборот. Например, если B→A -- морфизм кошулевых алгебр и A^!→B^! -- двойственный морфизм, то А является свободным левым B-модулем тогда и только тогда, когда B^! является кошулевым правым A^!-модулем.