О единстве наук(и)

[posic]

http://flying-bear.livejournal.com/818929.html

А.А.К. принадлежит замечательная формулировка: математика состоит из трех разделов -- алгебры, геометрии, и анализа -- каждый из которых содержит два других. Он же объяснял, перефразируя это высказывание, что заниматься следует какой-нибудь такой областью или вопросом, который содержит в себе всю математику. Не исключено, что он говорил это прямо лично мне, в том смысле, чтобы я подумал, обладает ли тема моих занятий указанным свойством. (Тогда мне казалось, что нет, и это меня огорчало, но теперь я думаю, что, может быть, да.)

Comments

[posic.livejournal.com]

Кстати, и проблемы оснований анализа (а равно алгебры и геометрии) с современной точки зрения выглядят совсем не так, как они, видимо, представлены в популярных источниках об эпохе дискуссии об основаниях. Просто во времена этой дискуссии матлогика была еще в зачаточном состоянии, а матанализ, скорее, уже перевалил свой золотой век и там занимались, среди прочего, довольно заковыристыми вопросами типа дескриптивной теории множеств/ТФДП или поточечной сходимости рядов Фурье.

Сейчас уже давно известно, что почти весь классический матанализ 18-первой половины 19 века, а также и функциональный анализ, можно построить в рамках аксиоматических систем, по силе эквивалентных арифметике; самое важное в нем можно формализовать и в рамках систем, по силе соответствующих слабым подсистемам арифметики. Просто сколько-нибудь приличная функция однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа, а ее значения в рациональных числах можно задавать алгоритмами для приближений; или можно саму функцию аппроксимировать ступенчатыми, и т.п. Использование мощных теоретико-множественных аксиом в анализе и алгебре -- вопрос либо простоты и удобства, либо желания заниматься достаточно специальными вопросами.