Модельные категории без пределов: странные примеры - 1

[posic]

Вот у меня пример двух, в каком-то смысле, эквивалентных по Квиллену модельных категорий без пределов. Ну, то есть категорий, удовлетворяющих всем аксиомам модельной категории, кроме существования произвольных пределов и копределов. Некоторые пределы и копределы в этих категориях все-таки есть, но не все.

А именно, там существуют:
1. проективные пределы любых непустых диаграмм;
2. все направленные (filtered) индуктивные пределы;
3. все копроизведения.

В то же время, в обеих категориях НЕ существуют:
4. конечный объект;
5. некоторые коуравнители;
6. некоторые расслоенные копроизведения (двух объектов над третьим).

Разгадка этой загадки планируется в следующем постинге.

Comments

[bbixob.livejournal.com]

а что с такими категориями можно делать? там есть derived functors и нетривиальные гомотопические группы? это мне весьма близко, на самом деле.

[posic.livejournal.com]

Как я писал осенью, я вообще не знаю, что делать с модельными категориями. Я строю их не для того, чтобы что-либо с ними потом делать.

Разве что пользоваться теоремой об описании локализации по слабым эквивалентностям как категории фибрантно-кофибрантных объектов с классами гомотопии морфизмов.

См. также следующий постинг.

А что такое гомотопические группы в модельных категориях?

[bbixob.livejournal.com]

делать с ними -- я имел в виду и делать при их помощи.

Да, спасибо, я не помнил тот постинг. Я вот тоже пока не понимаю, к
я буду применять, может быть, построеные мной модельные категории. но надеюсь,
что интуиция и техника модельных категорий позволять хотя бы что-то посчитать...

гомотопические группы --- как у Квиллена, или просто множества -не группы- классов гомотопии отображений между объектами. или же как в параграфе
2(Loop and suspension functors),Theorem 2, groups pi_1(A,A;0,0) = [A,B]_1.

к слову, в статье Rational Homotopy Theory тоже упоминается беспредельная модельная категория -- из, кажется, односвязных топологических пространств или же пространств с какими-то другими подобнымы исловиями.

[posic.livejournal.com]

Спасибо за ссылки. Посмотрел я тут книжку Hovey, и на первый взгляд выходит, что в доказательствах базовых результатов (гомотопии, производные функторы) используются только (ко)произведения, более сложные (ко)пределы не нужны. Только вот без конечных объектов нельзя говорить о фибрантных объектах, на которые, разумеется, все завязано.

[vanja-y.livejournal.com]

Есть книжка Baues'а "Algebraic homotopy". Там многие вещи доказаны в более слабых предположениях чем модельные категории, в частности предполагается существование только фибрантных или только кофибрантных объектов. (Других подробностей не помню).

[posic.livejournal.com]

Спасибо.

[mikhandr.livejournal.com]

Иногда модельные категории оказываются полезными для подключения алгтопологического языка там, где с этим есть проблемы:

http://arxiv.org/abs/math.AG/0506332
или
Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes
par Francois-Xavier Dehon

Ой, самое интересное забыл! :-)

[mikhandr.livejournal.com]

http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0
http://arxiv.org/abs/math/0106158
и ещё тут: http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Schmidt/papers/schmidt19-en.html