Leonid Positselski

Любопытно. В моем списке отсутствуют 3 и 5 - как радости. Не было такой задачи в юности.

1 и 4 было, не один раз.

2 трудно трактовать в контексте 1: обнаруженные связи более-менее по замыслу ведут к тому, что теоремы из одной области применяются в другой.

From:

Все же 1 и 2 суть разные вещи, и 1 не влечет 2 (как и 2 не влечет 1). Если математик A, работающий в области X, открыл связь между областью X и другой областью Y, отсюда не следует, что найдется теорема математика A, принадлежащая области X и имеющая применения в области Y. Может случиться, что характер связи таков, что, скорее, теоремы из области Y должны применяться в области X. Может случиться, что теорем, которые можно было бы применить в другой области, пользуясь открытой им связью, A не доказал. Может случиться, что таких теорем вообще никто не доказал.

From:

Да, но мне не очень ясно, как применить это к моей математической биографии.

Например, имеется такая ситуация: я специально доказал теорему в области А, чтобы применить ее в области Б, и применил. Применимость неожиданная, во всяком случае все эксперты по Б мне так говорили. Это, наверное, 1, но 2 ли это?

Или, скажем, такая ситуация. Некую мою теорему Т в области А очень полюбили специалисты в области Б, хотя для их целей достаточно более слабого утверждения Т₀. Возможно, важным моментом является то, что доказательство Т написано понятно, а исходное доказательство Т₀ вроде бы никто не понимает целиком, включая меня.

И та и другая истории были радостью для меня, но я не знаю, подходят ли они под Вашу классификацию.

P.S. А Вы бы не могли добавить Ваш список к посту? Было бы удобнее.

From:

Мне кажется, ваша первая ситуация подходит под пункт 1, а вторая под пункт 2.

Я, со своей стороны, придумал конструкцию, сопоставляющую объектам некоторого класса из моей области A объекты некоторого класса из совсем другой области Б. Цель была в том, чтобы применить результаты из незнакомой мне области Б к задаче из моей области А. Это не получилось, поскольку в области Б не оказалось подходящих результатов.

From:

Наверное, так.

В конечном счете мои основные радости сводятся к непосредственной радости занятий математикой. Понять что-то - даже не обязательно придумать что-то новое.

В недавних дискуссиях о науке я упоминал это явление: работа математика доставляет радость и удовлетворение непосредственно, минуя обычную схему "работа -> вознаграждение (даже и в виде применения своих результатов) -> использование вознаграждения для удовольствия".

From:

Я не видел, где вы об этом писали, по существу же согласен. У меня тоже так. Но я так понял постановку вопроса avzel, что имеются в виду не, так сказать, обыкновенные повседневные радости, а какие-то редкие "высшие радости".

From:

avzel.livejournal.com

Ну да, повседневные радости, когда вдруг удается что-то понять (или огорчения, когда не удается) нам всем знакомы. Меня заинтересовало именно, есть ли в математике что-то похожее на "высшие радости" физиков-теоретиков от экспериментального подтверждения их работ. Ваш пункт 4 (когда кто-нибудь доказал вашу гипотезу) имеет с этим нечто общее, но всё-таки с некоторой натяжкой. Иногда бывает, что доказательство не так уж сложно и использует доступные вам технические средства - тогда к чувству радости и восхищения примешивается досада на собственную глупость.

From:

Мне кажется, что Авзель, несмотря на явную оговорку, говорит не о "бескорыстном удовлетворении", а об общественном признании и производных от него радостях.

Для меня самого практически неважно, решил я чужую задачу, или свою собственную, устанавливает она связи между областями, или проясняет одну область. Моя первая ситуация (этот результат мне особенно дорог) - результат решения задачи, которую я сам поставил, сам и решил. Практика показала, что "установление связей" более престижно, и дает возможность поговорить с разными интересными людьми, но это весьма вторичные эмоции.

From:

Не возьмусь интерпретировать Авзеля, но я имел в виду именно бескорыстное удовлетворение.

Сам я воспринимал и сейчас вспоминаю эту свою конструкцию случайной последовательности нулей и единиц, соответствующей кошулевой алгебре, с бОльшим чувством удовлетворения, чем все остальные свои результаты того времени. То, что это восприятие не имеет отношения к жажде общественного признания, доказывается тем, что эта конструкция 13 лет оставалась неопубликованной, а первоначально написанный текст на эту тему (дипломная работа) оказался невосстановимо утрачен.

From:

Любопытно, что моя первая работа в нескольких отошениях похожа на Вашу. Я применил идеи из одной области математики к другой, был очень доволен результатом, текст неопубликован и, с большой вероятностью, невосстановимо утрачен (не исключено, что он куда-то завалился).

В рамках бескорыстного удовлетворения, меня несколько удивляет Ваш порядок. Неужели Вы получаете большее удовлетворение, когда узнаете, что Ваша теорема где-то используется (п. 2), нежели тогда, когда Вы ее доказали, или, скорее, поняли, как ее доказывать? Аналогично, неужели доказательство гипотезы кем-то другим (п. 4), приносит Вам большее удовлетворения, нежели момент ее формулировки (предполагаю, что Вы высказаваете гипотезу не от фонаря, а на основе достигнутого понимания).

Для меня, да и судя по рассказам, для многих других, высшая радость бывает в те редкие моменты, когда я понимаю, как решить задачу (как нечто устроено). Ощущается это так же, как об этом рассказывал Уайлс - как включившийся свет с темной комнате, после того, как долго нащупывал выключатель. Это относится в равной мере к теоремам, гипотезам, и просто пониманию малопонятной теории. На самом деле при изучении большинства теории бывает такой момент озарения.

Один из случаев подтвердившийся гипотезы, предположительно, должен был бы принести мне большое удовлетворение. Один из крупнейших специалистов по такого типа задачам отверг все мои аргументы, и сказал, что нет никаких оснований думать, что гипотеза верна. Хороший специалист по объектам в одной части гипотезы пытался с ходу построить контрпример. Через несколько лет гипотеза была почти доказана (почему-то авторы не сделали последний шаг, хотя я объяснял одному из них, как его сделать, не претендуя ни на какой credit), и вскоре была доказана целиком. Использованными методами я не владел, хотя я до сих пор думаю, что есть доказательство, следующее моему исходному замыслу (и даже что их доказательство переводится на тот язык).

Но мое удовлетворение было на уровне "ну я же говорил...".

From:

Я бы сказал, что это просто разные вещи, которые соотносятся, как субъективная и объективная шкала. Я могу иногда испытывать эйфорию, а иногда не испытывать никаких особенных эмоций, придумав или поняв какую-нибудь штуковину. Это зависит от разных факторов от общего эмоционального фона до того, насколько внезапно или постепенно приходит понимание того, что идеи работают или что задача решена.

В обоих случаях опыт и здравый смысл подсказывают мне, что немного времени пройдет и эмоции переменятся. Мне близка не мной высказанная мысль, что математик долго страдает, бесплодно размышляя над задачей, недолго радуется, обнаружив плодотворные идеи и решив задачу, и быстро приходит к выводу, что задача была тривиальной, на чем заканчивается радость и начинаются очередные страдания.

Как говорится в той цитате, "во дни сомнений и тягостных раздумий" мне надо на что-нибудь опираться. Пп. 2 и 4 (а равно 1 и 3 -- последний п.5 стоит несколько особняком) могут служить объективным подтверждением того, что я сделал или понял что-то существенное. Теорема применяется -- значит, она содержательна. Гипотезу доказали -- значит, я был прав и мой подход в чем-то верен.

Конечно, проще всего подтвердить нетривиальность своего вклада, решив какую-нибудь старую известную задачу. Наверно, это должно идти пунктом 0 в моем списке.

From:

Почему 0, а не 6, в таком случае? У Вас сказано, в порядке возрастания, а это действительно самый надежный способ быть уверенным в нетривиальности своего вклада.

Видимо, мы просто неколько по разному высказываем одну и ту же мысль. Для меня "бескорыстная радость" чисто субъективна и никоим образом не зависит от ее места в мире и обществе. Объективность же в этом контексте я связываю с социальными отношениями. Например, Ваш пункт 4 явно формулирует признание неким социумом полезности Вашей деятельности. Так что я трактую п. 4 как говорящий о Ваших отношениях с сообществом физиков, а не Вашей математической деятельности.

From:

Сомнительна надежность этого способа. Вот Перельман решил старую известную задачу, но нетривиальность этого вклада вполне можно поставить под сомнение, как демонструют ваши комменты на сей предмет. С другой стороны, мне нужно не столько общественное признание, сколько моя собственная убежденность в том, что моя научная жизнь удалась. Впрочем, мое отношение к этому вопросу может быть окрашено моим представлением, что перспектива решить старую известную задачу мне, из всех перспектив, особенно слабо светит.

Пункт 3 (вы имели ввиду п.3, а не п.4 -- про физиков?) -- это вопрос не отношений с сообществом физиков, от которого я крайне удален, а способа убедиться, что мое определение достаточно фундаментально, если им уже даже заинтересовались физики. Здесь заложено предположение, что физикам свойственно обращать внимание на наиболее важные из математических определений; предположение, которое мне кажется в целом правильным.

From:

Нет, я не ставлю под сомнение нетривиальность работы Перельмана. Я просто думаю, что его подход неправилен, уродлив, нанес ущерб довольно интересной области, и так далее. В рамках этой дискуссии важно то, что, предположительно (свидетельства только косвенные, а прямых, видимо, не может быть в принципе), Перельман сделал именно то, что хотел - решил старую знаменитую задачу, и что именно в этом он видел наилучший способ доказать себе и миру свою состоятельность.

Да, конечно, я имел в виду п. 3. Ваше предположение мне кажется очевидно неверным, и я думаю, что дело сейчас обстоит ровно наоборот - физики обращают внимание именно на то, что уже признано и модно в сообществе математиков. Но раз Вы считаете его верным, Ваша позиция становится яснее.

From:

Сбывшееся предсказание для теоретика не является (по крайней мере, не должно являться) какой-то "высшей" радостью. В этом и состоит работа теоретиков - строить теории, на основе которых можно делать предсказания. Сбывшееся предсказание - это аналог доказательства в математике. При этом предсказание не обязательно должно быть каким-то сенсационным и неожиданным (как предсказание фонового излучения). То, что это выделяется как "высшая" радость, указывает на то, что либо имелось в виду что-то другое (ссылки-то нет), либо на то, что физики-теоретики давно занимаются ерундой (что обсуждается в другом месте).

From:

Имелось в виду мое высказывание по совершенно конкретному поводу, поэтому могу пояснить. Да, в определенном смысле, все теоретики давно занимаются ерундой (и всегда занимались). В том смысле, что, в отличие от математики, в теоретической физике почти нет внутренних критериев правильности полученного результата. По стандартам математики, все "доказанные" теоретические физические результаты - в лучшем случае, гипотезы. Ты никогда не знаешь наверняка. В этом смысле, экспериментальное подтверждение - всегда, отчасти, чудо. Насколько знаю, ни у одного из моих учителей (многие из них были очень, и заслуженно. уважаемыми физиками-теоретиками) за всю их научную деятельность не было ни одного случая успешное предсказание. У меня - один. В паре других случаев, тоже есть основания думать, что было бы подтверждение, если бы удалось уговорить экспериментаторов потратить силы (довольно большие) на проверку, но в том-то и дело, что наверняка я этого не знаю.

From:

Вообще, важно иметь в виду, что соотношение экспериментальной и теоретической физики - важнейшая проблема организации физики как науки, и, по-видимому, в математике аналогий не имеет. Чем занимаются успешные (по внутренним, не только по внешним, критериям) теоретики? Либо "математикой второго сорта" (и тогда это заслуживает названия "ерунда"), либо объяснением и количественным описанием уже полученных экпериментальных результатов.

From:

Хотелось бы это понять получше. С моими наивными представлениями полностью согласуется то, что в теоретической физике почти нет внутренних критериев правильности результата. Но теоретическая физика - "неполноценная" область и в другом отношении - в ней почти нет и внутренних способов постановки задач. Как ни посмотри, теоретическая физика осмысленна только вместе с экспериментальной.

Вопрос в том, что понимать под предсказанием. Можно предсказать что-нибудь совершенно неожиданное, вроде существования Нептуна, позитрона или фонового излучения. Это бывает редко, и я воспринимаю такие предсказания, с одной стороны, как чудо, с другой - как главное свидетельство того, что физика в целом - "настоящая наука". (Науки, в которых никогда не бывает таких предсказаний - ненастоящие). Но вроде бы есть и более рутинные предсказания. Классический пример - закон свободного падения, открытый Галилеем. Он предсказывает движение любого падающего тела (при известных условиях), и его можно проверять в массе ситуаций. Неужели такого рода предсказания - редкость?

From:

> Как ни посмотри, теоретическая физика осмысленна только вместе с экспериментальной.

С этим я совершенно согласен. Но, наверно, две трети моих коллег от этой фразы взвоют и страшно обидятся. Ну, их проблемы. Я целиком за.

> Неужели такого рода предсказания - редкость?

Я, отчасти, под влиянием этого разговора, решил коротко рассказать под замком о некоторых эпизодах собственной работы... Наверно, будет понятнее. Редкость - четкое предсказание с четким подтверждением. Иногда, кстати, просто не удается уговорить экспериментаторов проверить (я рассказываю об одном примере). Случаи, когда вроде бы что-то с чем-то как-то согласуется, но полной ясности и убедительности нет, конечно, менее редки. "Серая зона" - то ли предсказано, то ли нет, что-то (каике-то черты) предсказано правильно, что-то совсем наоборот... Это бывает.

From:

chaource.livejournal.com

Мнѣ не свѣтитъ увидѣть свою теорію подтверждённой экспериментально, потому что я занимаюсь вещами, ненаблюдаемыми въ ближайшіе 10 милліардовъ лѣтъ.

Зато могу подѣлиться маленькой "математической радостью" другого сорта.

Я написалъ и выложилъ въ интернетъ замѣтку о томъ, что функція ошибокъ erf x и обратная къ ней функція могутъ быть приближены простыми функціями съ точностью 4 десятичныхъ знаковъ. Уже не менѣе 10 инженеровъ спонтанно написали мнѣ по поводу этой замѣтки и просили сообщить, гдѣ опубликованъ этотъ замѣчательный результатъ. Я написалъ другую замѣтку о томъ, что дельта-функція Дирака не можетъ быть аналитически продолжена въ комплексную плоскость до аналитической "функціи". Эта глубокая мысль вызвала волну протеста со стороны инженеровъ-электронщиковъ, которые уже опубликовали въ своихъ журналахъ нѣсколько статей, утверждавшихъ обратное.

From:

Посмотрел в Википедии определение функции ошибок.

Пошел на твою страницу почитать про аналитическое продолжение дельта-функции. Почитал и понял, невозможность чего утверждается; это не то, о чем я подумал, когда прочитал твой коммент. В твоей заметке также отсутствует строгая формулировка и доказательство, так что твой спор с этими инженерами (у которых наверняка все еще менее строго) может длиться вечно. По существу: пространство обобщенных функций зависит от пространства пробных функций, и чем меньше пробных функций, тем больше обобщенных. Функция \delta(x-ia) не определена на самом маленьком из обычно рассматриваемых простраств пробных функций (гладких функциях с компактным носителем), а определена только на каких-то совсем уж маленьких простраствах аналитических функций, хорошо продолжающихся в нужную часть комплексной плоскости. Я не знаю, рассматривались ли классы обобщенных функций подобного рода в литературе.

Дойдя до этого места, я забыл определение функции ошибок и должен был снова посмотреть его в Википедии, чтобы можно было утверждать, что на момент отправки коммента я знаю, что такое функция ошибок. Почему она так называется, я не понял, что лишает меня шансов сколько-нибудь надолго запомнить, что такое функция ошибок.

Мораль: у каждого из нас свои математические радости, и редко-редко они вдруг пересекутся. Так и живем.

From:

chaource.livejournal.com

Въ русской математической литературѣ она можетъ быть называется иначе, "интегралъ вѣроятности" или что-то такое. Функція, во всякомъ случаѣ, довольно скучная.

From:

Интересно, что для физиков-теоретиков список практически такой же, и в такой же последовательности. С очевидными изменениями.

1. Неожиданные связи между разными разделами физики.
2. Твои результаты используются в других разделах физики.
3. На тебя ссылаются прикладники и инженеры.
4. Подтвердившееся предсказание.

5 я не стал выделять, потому что в физике хуже определено, кажется, понятие "решенной задачи". Ничего никогда не решается окончательно. Поэтому тут есть мсето для самообмана. С 4 это труднее.

From: