Grand project

[posic]

Гомологическая алгебра -- техническое сердце алгебраической части современной математики. В чем смысл существования большого, концептуально и технически сложного проекта в гомологической алгебре, захватывающего ряд разных областей, прорабатывающего большой объем деталей, и неограниченно расширяющегося в бесконечность? Или, во всяком случае, не предполагающего никакого эффектного завершения ни в какой обозримой перспективе?

Либо я правильно выбрал точку на бесконечности -- и тогда в итоге этот проект, если он получит развитие, может вывести к доказательству каких-то важных гипотез. Либо я не настолько правильно выбрал точку на бесконечности -- и тогда результатом такого проекта станет укрепление оснований и исправление популярных мисконцепций. А также, может быть, повышение общего уровня понимания предмета среди продвинутых алгебраистов, способных читать мои работы, и увеличение их отрыва от непродвинутых. Такое расслоение не по признаку принадлежности к тусовке, а по признаку готовности вникать и способности понимать текст.

Важно ли все это в современной обстановке? Может быть, и да. Понятно, что нынешняя социально-экономическая динамика в науке вообще и в математике в частности не предвещает ничего хорошего. Пытаться преодолеть эту разрушительную динамику (продукт порочных стимулов, действующих на научное сообщество в целом) силами одного человека -- это как пытаться остановить руками лавину. Но, может быть, будет в чем-то лучше, если противоречие в ZFC выведут в гомологической алгебре несколько позже, а не раньше -- или если группа продвинутых исследователей, которые избегнут хотя бы когнитивной вовлеченности в подобный исход, будет шире, а не уже.

Comments

[i_anatta]

В чьей статье была ошибка, понятно было сразу. Проблема была, как всегда, с *научной журналистикой*, а не с математикой. (Историю эту я знаю не от непосредственных участников, но из вторых рук; подумал, быть может, другим читателям журнала будет интересно).

В 1959 году Хироши Тода построил \alpha_i, бесконечный набор нетривиальных элементов в \pi^s. Доказательства нетривиальности, по сути, не было, но на стороне Тоды было провидение в духе Рамануджана, и большое количество экспериментально подтверждающих заявление вычислительных результатов, которые американскому коммьюнити топологов за год-два-... удавалось превращать в содержательные конструкции и проверять концептуально (Адамс, Барратт, 1965: отображение Тоды поднимается на некоторый несложный спектр в виде эндоморфизма \alpha, где иньективен на К-теории; и есть нестабильная *почти ретракция* этого спектра на сферу, нетривиальная на гомологиях)

Через 10 лет Ларри Смит построил другой пример \beta такого эндоморфизма (являющегося Massey square предыдущего после спуска на сферу), используя MU вместо К-теории (локально для p>=5), но было неясно, как доказать нетривиальность связанного с ним отображения на сфере. В ответ в том же году Тода и Ока показали, что для p=3 отображения Смита нет, но зато есть (...но это не очень точно...) ещё \gamma, который должен быть Massey product \alpha c \beta. Понятно, что вычисление произведений Масси третьего порядка какими-то неясными комбинаторно-алхимическими методами ни к чему хорошему привести не могло, и в 1971 Тода на встрече JMS анонсировал, что \gamma_1 = 0. Публикация если и была, то только в японском вестнике чего-то там.

В том же 1971 аспирант Люлевичуса (Zahler, кажется) придумал некую идею, как доказать, что \gamma_1 \neq 0, весь контент был, в общем-то, в 10 страницах вычислений произведений Масси в координатах и в том, что группы когомологий достаточно редкие, чтобы эти *третичные когомологические операции* не имели фатального количества indeterminacy. Ларри Смит, редактируя это, совершенно случайно заметил в лежавшей по соседству статье Оки что-то в духе "we use here that \gamma_1 = 0 [1],.. [1] Private communication, Hiroshi Toda". Он запросил у Тоды доказательство, и Тода отправил черновик статьи (~70 страниц вычислений) и бандероль черновиков (поскольку эти 70 страниц имели внутри изрядное количество "easy to see"). Написать в ответ на это прямо, что, мол, доказательством это не является, было неприлично, поэтому с публикацией пришлось просто подождать до 1974, когда Тода и Ока написали, что да, и в самом деле не равно нулю, и вот даже рецензированная публикация. (Бумаги на доказательство верного утверждения ушло в разы меньше, чем на доказательство неверного, что не очень удивительно.)

После этого произошло две вещи. Во-первых, перед топологами явно проявился недостаток концептуальных методов. (Возможно, без этого инцидента они появились бы заметно позднее.) Равенель и Морава в 1974, внимательно изучив появившиеся работы Новикова о спектре BP, увидели там формулы, буквально повторяющие вычисление когомологий p-адической алгебраической группы Лазаром, дав возможность людям вокруг ещё около 20 лет не думать о нахождении какого-то нового взгляда.

Во-вторых, Gina Colata (в то время бесперспективный аспирант math dept в Мэриленде) случайно (ну, люди говорят...) узнала про эту историю, и решила, естественно, совершенно не разбираясь с сутью дела, сделать на этом карьеру научного журналиста, написав заметку в Science, где работала в то время каким-то архивариусом. И у неё замечательно получилось такую карьеру сделать!

Вот, очень изящные _советы математикам_ о том, как им _нужно общаться с журналистами_ от Gina Colata http://www.ams.org/notices/199604/comm-kolata.pdf)

“You have to have news,” Kolata states.
(So, if you do not have news, she's going to make them up).

***

Вообще, это я к чему: мне кажется, ни разу не случалось такого, чтобы два математических *текста* (в этимологическом значении слова, от texo; подразумевающего а) целостность, сплетение б) явно видимую структуру) содержали противоречащие утверждения. Все известные мне случаи происходили от желания людей пробиться силой там, где имеющейся аксиоматики и знания хватает только на какие-то шаткие мостки через болото вязкого хаоса.