Разрешимые алгебры Ли

[posic]

Когомологии полупростой алгебры Ли в категории ее конечномерных представлений вычислять нельзя, поскольку последняя полупроста (по крайней мере, в характеристике 0). С другой стороны, Ext-ы между нильпотентными (конечномерными или инд-конечномерными) представлениями нильпотентной алгебры Ли можно вычислять в категории нильпотентных представлений. Можно ли вычислять Ext-ы между конечномерными представлениями разрешимой алгебры Ли в категории конечномерных представлений?

Comments

[roma.livejournal.com]

dumaju da. Po-moemu dostatochno, znat', chto in#ektivnaja obolochka konechnomernogo -- ob#edinenie konechnomernyh (nu ili dvojstvennyj fakt pro proektivnuju nakryvajuschjuju)

[posic.livejournal.com]

Этого достаточно, да, при разумных предположениях (например, для модулей над нетеровой алгеброй). Но почему это верно для разрешимой алгебры Ли?

[roma.livejournal.com]

ja dumaju, chto potomu chto (predpolagaja, vhyo sama algebra konechnomena) prjamoj predel
\injlim (U/m^n)^* -- in#ektivnaja obolochka trivial'nogo predstavlenija, a dlja ljubogo konechnomernogo modulja M mozhno vzjat' ee tenzornoe proizvedenie na M i poluchit' in#ektivnuju obolochku M.

[posic.livejournal.com]

Этот прямой предел называется "конильпотентная кообертывающая коалгебра" (если я правильно понял, что m обозначает идеал аугментации). Он, конечно, является инъективным объектом в категории нильпотентных представлений. Он зависит только от максимальной нильпотентной факторалгебры исходной алгебры Ли g, так что для ненильпотентных алгебр Ли он едва ли особенно полезен. Он не является инъективным модулем уже для двумерной неабелевой разрешимой алгебры (борелевской алгебры sl_2). Инъективен ли этот модуль, как объект категории произвольных модулей, для нильпотентной алгебры Ли? Это могло бы сильно упростить доказательство, которое я рассказывал на вчерашней лекции...

Разумным аналогом этого модуля для разрешимых алгебр Ли является другой прямой предел -- двойственных пространств к факторалгебрам Ug по произвольным идеалам конечной коразмерности. Это называется просто "кообертывающая коалгебра". Этот модуль инъективен в категории инд-конечномерных g-модулей. Инъективен ли он в категории произвольных g-модулей? Этого я не понимаю.

[roma.livejournal.com]

pust' algebra nil'potentnaja konechnomernaja. Togda in#ektivnost' konil'potentnoj koobertyvajuschej sleduet iz togo, chto Hom iz modulja M v nee -- eto
prostranstvo linejnyh funkcionalov na M, nepreryvnyh otnositel'no m-adicheskoj topologii (gde m -- ideal augmentacii). A popolnenie po m-adicheskoj topologii
dlja nilpotentnyh algebr -- tochnyj funktor.

[posic.livejournal.com]

А почему это точный функтор? Это какой-то аналог леммы Артина-Риса для обертывающих алгебр нильпотентных алгебр Ли.