Leonid Positselski

Речь не идет о претензиях к математике. Речь идет о метафоре, которую предложил Найшуль: что торговля -- это что-то вроде математики. Потому что создают абстракции, основываясь на старых абстракциях. На самом деле, когда имеешь дело с абстракциями, ключевую роль играют какие-то жесткие ограничения, критерии корректности. Что эксперимент должен подтверждить, там. Или чтобы математическое доказательство.

В этом финансовом деле критерий состоит состоит в том, чтобы срубить деньгу. А деньга у нас резиновая надутая, по чистому политическому произволу, это раз. И срубается она на том, чтобы собраться большой толпой, торговать-веселиться, а потом получить bailout, это два. Моя гипотеза состоит в том, что ни науке, ни технике, ни обывателю такая торговля абстракциями счастья не принесет. Потому что все стоит на лаже.

From:

По-моему, все это по уровню недалеко ушло от претензии, что мол экономисты (в том числе австрийские ), как профессия, не самые успешные в мире бизнесмены или инвесторы, а значит, экономика лишена содержания.

From:

Ни экономика, ни стохастический анализ не учат, как надо торговать. Это верно, но я не об этом.

From:

А что у него кроме этого? Какая-то несмешная игра слов, что "derivative" означает и математическую производную, и производный финансовый инструмент (т.е. такой, чья цена зависит от цены некоторого другого инструмента). По-моему, никакой глубокой аналогии тут нет совершенно тривиальным образом.

From:

Там нет такой игры слов, и не подразумевается никакой отсылки к математическому понятию производной.

Вы не понимаете что такое абстракции, образованные из свойств предыдущих абстракций? Это очень просто. Вот у вас есть понятие, скажем, вещественного числа. Это, будем считать, абстракция начального уровня. Вещественные числа можно складывать и умножать, это у них такие свойства. Кроме того, бывает, что вещественное число зависит от другого вещественного числа или еще от чего-нибудь; это называется вещественнозначная функция. Вещественнозначные функции тоже можно складывать и умножать. Задумаемся над этими примерами, и придем к понятиям кольца, поля, векторного пространства. Это абстракции второго уровня. Между кольцами, полями, векторными пространствами бывают гомоморфизмы, это такое свойство колец, полей, векторных пространств. Задумаемся над этими примерами, и придем к понятию категории. Это абстракция третьего уровня.

Это я вам не историю математики излагаю, понятно; история несопоставимо сложнее; продуктивные абстракции далеко-далеко не так просто придумываются. Это, собственно -- не история науки, а ее результат. Вот, об этом примерно по-моему Найшуль говорит.

From:

Возможно, у меня замылен взгляд, но я не вижу в ценных бумагах ничего абстрактного по возрастающим уровням.

From:

Понятно, спасибо. Я не разбираюсь в этом; но Найшуль, вроде, должен был бы разбираться? Интересно, что скажут другие комментаторы.

From:

Я тоже не вижу там иерархии абстракций. И, заодно, не понимаю, почему Найшуль должен рабираться в устройстве различных ценных бумаг. Скорее я склонен был бы считать, что он действительно играл в слова.

From:

Потому что Найшуль -- экономист, а экономика и финансы -- смежные области. Например, когда хороший математик говорит о физике или хороший физик о математике, то они, обычно, в общем, понимают что говорят, хотя воспринимать это буквально невозможно.

From:

Так математика же строится на правдоподобных аксиомах, физика - на наблюдаемых регулярностях, а финансы - вообще, на мой взгляд, пустая область в смысле теории (на астрологию похоже, там у них тоже всякие Марс в доме Сатурна, только называются WACC, EBITDA или еще как-нибудь), а в смысле практики финансы просто бизнес, т.е. деятельность, так что разбираться в ней можно только практически и только применительно к конкретной ситуации, слова же и объяснения задним числом веса не имеют.
Я, кстати, с одной стороны, имел когда-то серьезные трудности с восприятием математических понятий (практически все, что было дальше теории представлений), а с другой - имел довольно печальный опыт втолковывания физических штук математически вполне образованным людям. Меня это долго мучило, а потом перестало, потому что я почти забыл и то, и другое :)

From:

Понятно, спасибо. Математики, за редкими исключениями, с трудом воспринимают физику, а физики -- математику, это верно. Но если выдающийся математик все-таки говорит что-то о физике или выдающийся физик -- о математике, то это обычно имеет смысл. А вот когда выдающийся математик говорит что-нибудь об экономике, это, скорее всего, полная чушь.

From:

Вообще-то, я не вижу причин, по которым выдающийся математик не может быть просто умным человеком - а в этом случае он если и скажет что об экономике, то это, вероятно, будет иметь смысл.
Для физика математика инструментальна, и трудности, мне кажется, не в восприятии понятий, а в том, что их незачем усваивать, пока не к чему их прикладывать. Наличие приложения дает физику систему неясных образов, которые стоит, по мнению физика, как-то прояснять, и тогда все воспринимается очень быстро (и наверняка не так, как воспринимается математиком). Более того, физик сплошь и рядом изобретает какую-то, на первый взгляд, антиматематическую математическую аппаратуру, а уж потом начинает смотреть, не знают ли чего про это математики - так, насколько я знаю, было не раз и не десять.

From:

Даже умному человеку трудно выйти за пределы ложных штампов, распространяемых образовательной системой и прессой, и подтверждаемых авторитетом мейнстримных экономических светил. Выдающемуся математику обычно недостает стимулов для того, чтобы прилагать соответствующие усилия. Потому что он понимает, что по-настоящему интересной математики в экономике нет. Чем экономика и отличается от физики как раз. Даже финансовая математика имеет среди математиков репутацию занятия денежного, но скучного.

From:

Да, а для математиков трудность понимания физики, мне кажется, в том, что у физиков другая педагогическая традиция. Математика излагается от исходного пункта до места назначения, а физика -- методом погружения, как язык. Математик обнаруживает, что в физическом тексте или докладе обозначения не объясняются, определений нет, рассуждения, претендующие на объяснение чего-либо, ничего не объясняют, так что правила и содержание происходящей игры в слова и символы предлагается улавливать из внимательного наблюдения за ходом игры. Что непривычно и довольно мучительно. (Это не говоря уже о пристрастии физиков к чудовищным координатным обозначениям, от которых математики давно отказались в пользу инвариантных тензорных слов.)

From:

Today I was teaching and students asked how to derive the formula for the change in the Riemann curvature tensor under a conformal transformation of the metric. I know three ways of doing this calculation, but all these ways are more or less boring and long. The final formula for the Ricci tensor is shorter, but the derivation is still unpleasant. How would a mathematician actually derive this formula?

From:

Last time I was dealing with Riemannian geometry was more than 15 years ago. I remember that there is an explicit formula for the Levi-Civita connection in terms of the metric, of the following kind. You take the covariant derivative of a vector field Y along a vector field X and couple the result with a vector field Z using the metric, so you obtain a function. One can express this function in terms of X, Y, and Z using the operations of commutator of vector fields, coupling of vector fields using the metric, and differentiation of functions along vector fields. It is a formula with about 6 summands, perhaps.

So I would start with this formula and use it to obtain an expression of the Levi-Civita connection for a conformally transformed metric in terms of the connection for the original metric. Then I would pass to the curvature tensor and the Ricci tensor.

Actually, I learned about this formula for the Levi-Civita connection from the book "Heat kernels and Dirac operators" by Getzler, Berline, and Vergne. My recollection is that they do derive the formula for the curvature of a conformally transformed metric in this book. So I would look up there. I am sure they never use the index notation in this computation. :)

I suspect a physicist would still find this long and boring. For me, the problem itself is not particularly exciting. It is simply an exercise, and a rather straightforward one. You may also want to ask Misha http://lj.rossia.org/users/tiphareth -- he specializes in differential geometry.

From:

I'm pretty sure I remember the times where I saw a copy of that book and Polishchuk was explaining the differential geometry parts from it.

Two years ago I made up a course of lectures where I derived all the differential geometry facts that are needed for the proof of singularity theorems in general relativity. I wanted to use the index-free notation like the one from Kobayashi-Nomizu and Getzler et al use. After some work I figured out how to do the computations in the index-free manner, but it was not pretty and not very elegant. For instance, it was quite far from easy to derive the Einstein equations, because one needs to take traces of complicated tensors and traces are not easy to write without indices. (I found an index-free derivation in a book by Shlomo Sternberg, but his derivation assumed that the reader already knows how to compute everything using indices and merely rewrites the results of intermediate computations in the index-free notation.) Of course, these derivations might be not interesting from the mathematical point of view, and in any case doing computations with indices is also not elegant.

From:

Well, I have to admit that mathematicians still use the indices sometimes. But they try to keep their use to the minimum. So they can understand a little indices, but not too much. :) (Actually, I recall using indices on the blackboard in a conversation with hippie57 one year ago. I did away with the indices in the written version of the paper, though.)

From:

Later I will write some more about the pedagogical tradition. I have my own gripes about the way physicists and mathematicians present their stuff. :)

From:

Насчет педагогической традиции - очень точно, по-моему. Современная математика очень уж удалилась от вполне экспериментального характера, который она имела во времена древних греков. А физика, невзирая на всякие принципы дополнительности, осталась экспериментальной наукой.
А вообще разговор наш на ночь привел к тому, что приснился мне сон, в котором я объяснял жене, что девочки бывают ковариантными, а бывают контравариантными, и это две большие разницы :)

From:

В чем вы видите экспериментальность математики древних греков? Иррациональность корня из двух -- это экспериментальный факт? Бесконечность множества простых чисел -- экспериментальный факт? Задачи о построениях циркулем и линейкой (квадратуре круга, удвоении куба, трисекции угла) -- экспериментальные?

По-моему, обычно считается, что именно древние греки придумали доказательства; экспериментальной же математика была, может быть, у древних египтян и вавилонян. А Евклид придумал даже аксиоматический метод, который подразумевает доказательства. С другой стороны, компьютерными экспериментами занимаются и современные математики.

From:

Нет, в иррациональности корня из двух я никакой экспериментальности не вижу и видеть не могу: эксперимент всегда поставляет рациональные числа, ибо точность ограничена. Но иррациональности, квадратуры и пр. (да и оказательства) - это как раз достройка к непосредственно воспринимаемому, и сами аксиомы того времени, на мой взгляд (вероятно, не слишком просвещенный) отражают наблюдения. Построения и алгоритмы - абсолютно экспериментальные вещи (или я, может, что-то не понимаю, что известно математикам).
Аксиоматика, расходящаяся с чувствами, появилась через пару тысяч лет, разве нет? В общем, полистаю что-то по истории математики на ночь :)

From:

Аксиомы как евклидовой геометрии, так и современной теории множеств подразумевают экстраполяцию непосредственно наблюдаемых свойств конечных объектов на бесконечные. Конечно, бесконечно малая точка и бесконечно длинная прямая линия -- гораздо ближе к чувствам, чем абстрактное бесконечное множество. Но все-таки экспериментальной наукой древнегреческая математика не была.

Построения циркулем и линейкой -- чисто умозрительные алгоритмы. Построить приблизительно с любой точностью заведомо возможно, а точное построение на чертеже (в эксперименте) заведомо невозможно. Если точное построение сложное, то и ошибка наверняка накопится очень приличная. Все, что можно сделать с алгоритмом построения, претендующим на абсолютною точность (а в этом состоит задача) -- это доказать его или опровергнуть.

From:

В общем, если вы попробуете просто вспомнить школьный курс геометрии, то вы обнаружите, что экспериментальная проверка на чертежах не играла в нем абсолютно никакой роли. Никто там не пытался, скажем, что-нибудь на чертеже померить, чтобы сравнить с посчитанным ответом, и т.п. Чертежи использовались, но не в целях верификации, а исключительно в роли подпорок для воображения, чтобы не держать картинку только в уме. Нарисуем чертеж -- посмотрим на него -- придумаем дополнительное построение -- запишем вычисление/доказательство в символьном виде -- проверять же на чертеже ничего не будем. Уроки же, где требовались точные чертежи, назывались "черчение", а не "геометрия". А ведь школьный курс геометрии традиционно следует путем, проложенным "Началами" Евклида.

Что касается квадратуры круга, удвоения куба, и трисекции угла, то это задачи, по существу, близкие к задаче о (ир)рациональности корня из двух, только более сложные. Древние греки не смогли их решить, а в 19 веке было доказано, что все они неразрешимы. Например, квадратура круга неразрешима, потому что пи трансцендентно.

From:

Я регулярно сыну долдоню, что "геометрия есть искусство правильного рассуждения на неправильных чертежах" :)

From:

По поводу научности экономики мнѣ разсказывали когда-то поучительную исторію. Въ мат. экономикѣ были знаменитые люди - Блэкъ и Шолзъ (Black, Scholes). Они как-то разъ придумали нѣкое уравненіе изъ не важно какихъ соображеній. Это уравненіе должно было описывать котировку нѣкоторого класса цѣнныхъ бумагъ на рынкѣ (опціоновъ какого-то тамъ типа). Они провѣрили по извѣстнымъ даннымъ реальныхъ котировокъ, и увидѣли, что большинство цѣнныхъ бумагъ имѣютъ примѣрно такую цѣну, какъ по ихъ уравненію, но не всѣ: нѣкоторыя стоятъ гораздо больше, а нѣкоторыя меньше, чемъ по уравненію. Вотъ, подумали они, сейчасъ-то мы разбогатѣемъ. Рынокъ въ этомъ секторѣ ещё не пришёлъ въ равновѣсіе, цѣна на эти бумаги ещё не установилась, а мы уже заранѣе знаемъ, какая она должна быть въ будущемъ. Они купили на большую сумму этихъ бумагъ и стали ждать, пока цѣна придётъ въ равновѣсіе, чтобы продать ихъ и стать богатыми...

Въ общемъ, потеряли они всѣ деньги. Тогда они немедленно опубликовали это уравненіе, получили Нобелевскую премію по экономикѣ, стали знаменитыми и богатыми. Уравненіе вошло во всѣ учебники мат. экономики и до сихъ поръ является основой расчётовъ.

From:

История, честно говоря, была гораздо более поучительной. Деньги они (точнее, один из них + получивший вместе с ними премию Мертон) потеряли не свои, зато много, около триллиона долларов. Уравнение, собственно, тоже не они придумали.

From: