Quasi-coherent torsion sheaves, the semiderived category, and the semitensor product

[posic]

Вторая версия, под новым названием (уже не временным, а предположительно окончательным) -- https://arxiv.org/abs/2104.05517 . По замыслу, еще далеко не полная, но уже дающая представление, о чем идет речь.

Полубесконечная алгебраическая геометрия! Что это такое вообще? Это когда полупроизводная категория. На полупроизводных (полупроизводных-полукопроизводных) категориях бывают определены двусторонние производные функторы.

Comments

[timovadia (from livejournal.com)]

Просто знаком с некоторыми определениями. Вся фишка в том, что у разных авторов по разному опеределяется. Да, некоторые авторы просто вводят на пространстве топологическую структуру состоящую из набора подмножеств, которые они называют открытыми. Но есть авторы, которые вообще не говорят про открытые подмножества. Топологическое пространство у них определяется через фильтры элементов этого пространства с объяснением того, что такое фильтр. Еще есть авторы, которые говоря про некоторое множество, требуют вначале выполнение некоторых условий (аксиом), потом говорят, что их справедливость означает наличие топологии на множестве, потом они называют это все топологическим пространством, а вот в самом конце они (как бы невзначай) называют элементы топологии открытыми множествами топологического пространства. К тому же я встречал стандартное определение открытого множества топологического пространства --- "Множество в топологическом пространстве называется открытым, если оно содержит окрестность каждой своей точки". Поэтому из-за такой вот каши трудно сказать что-то.

У вас "полубесконечная" структура на множестве определяется наличием некоторых "полубесконечных" подмножеств, которые определяются какими-то хитрыми свойствами. В определении абстрактного топологического пространства все-таки все (а не некоторые) элементы его топологии называют открытыми множествами. Извините, лично мне такая разница причиняет дискомфорт. А вот если в некотором множестве не найдутся два полубесконечных подмножества, а будет только одно полубесконечное, то будет ли это множество с полубесконечной структурой?

Понимаю, что все определить невозможно. Это у нас там "множество" считается неопределимым понятием. Сам Кантор пытался придать ему все-таки какой-то смысл. Хотя, как только мы что нибудь говорим о множестве, произносим слова --- то мы сами и пытаемся в контексте определить его. Что вам скаже одна фраза: "Пусть X --- множество" Да ничего. Далее следует сказать что-то более осмысленное. Например, "пусть X — множество целых чисел" или "пусть X — множество с некоторым свойством" и далее назвать это свойство. Так же?

Вы профессионал в этой области, а я всего лишь обычный любитель детского уровня. Поэтому я меньше спорю, чем пытаюсь разобраться. Может что-то проясниться. Надо подумать. Наивный пример не придумывается. Или привести пример --- это может быть таким упражнением на понимание понятия "полубесконечного" пространства?

[posic.livejournal.com]

"Элементы топологии" — это как минимум, двусмысленное словосочетание. В топологическом пространстве есть 1. точки (это то, что математик, вероятно, мог бы назвать "элементами"), 2. открытые подмножества, 3. их дополнения — замкнутые подмножества, 4. разные другие виды подмножеств, которые можно рассматривать (те же окрестности и проч.).

Определение "множество называется открытым, если оно содержит окрестность каждой своей точки" просто заменяет одно неопределяемое понятие другим. Я привык к тому, что топологическое пространство — это множество, снабженное набором подмножеств, которые называются открытыми. Это обычное для профессионального математика определение. Оно удобно тем, что легко сформулировать аксиомы, которым должно удовлетворять множество всех открытых подможеств топологического пространства (пересечение конечного семейства открытых подмножеств открыто, объединение любого семейства открытых подмножеств открыто, все пространство как полное подмножество в самом себе открыто, пустое подмножество открыто).

Можно попробовать придумать другое определение в том русле, что топологическое пространство — это множество, для каждой точки которого указано, какие подмножества, содержащие данную точку, являются ее окрестностями. Тогда можно определить открытые подмножества так, как вы написали; но сначала встает вопрос — как аксиоматизировать понятие окрестности. Каким условиям должна удовлетворять совокупность всех окрестностей точек в топологическом пространстве? Мне кажется, это будет сложнее, чем совокупность всех открытых подмножеств аксиоматизировать. Так смотрит на эти вещи математик, привыкший работать с абстрактными теоретико-множественными определениями математических структур.

Мой пойнт был в том, что некоторые понятия в общем случае не имеют своих определений, а возникают и существуют в рамках других определяемых понятий. Если вы хотите привести пример топологического пространства, то вам нужно дать определение, что является открытыми подмножествами вашего топологического пространства в этом примере. Но в общем виде нет определения открытого подмножества; есть определение топологического пространства, в рамках которого существует понятие об открытом подмножестве.

[timovadia (from livejournal.com)]

Отлично, спасибо! То есть мы можем забыть о всяких там открытых множествах в классической терминологии анализа (через окрестности)? Как я понимаю, такое представление об объекте в алгебраической геометрии не требуется, может даже и вредно? И думать (без всякой там задней мысли) о некотором абстрактном объекте называемом открытым множеством, для наших дальнейших нужд, что бы это ни значило?

[posic.livejournal.com]

Ну да, задать топологию (структуру топологического пространства) на множестве — значит сказать, какие его подмножества называются открытыми (открытыми в этой топологии). Словом "окрестность" тоже бывает удобно пользоваться, конечно, но скорее окрестности определяются через открытые множества, чем открытые множества через окрестности.

[posic.livejournal.com]

То же с полубесконечной структурой на множестве. Задать на множестве полубесконечную структуру — значит сказать, какие подмножества мы будем называть полубесконечными. Конкретный (в каком-то смысле главный, "тематический") пример полубесконечной структуры на множестве всех целых чисел обсуждается здесь — https://posic.livejournal.com/2344695.html?thread=6378231#t6378231

Если заглянуть в раздел 0.1 препринта https://arxiv.org/abs/2104.05517 , там прописано формальное определение.