Quasi-coherent torsion sheaves, the semiderived category, and the semitensor product

[posic]

Вторая версия, под новым названием (уже не временным, а предположительно окончательным) -- https://arxiv.org/abs/2104.05517 . По замыслу, еще далеко не полная, но уже дающая представление, о чем идет речь.

Полубесконечная алгебраическая геометрия! Что это такое вообще? Это когда полупроизводная категория. На полупроизводных (полупроизводных-полукопроизводных) категориях бывают определены двусторонние производные функторы.

Comments

[french-man.livejournal.com]

Мне название нравится. Все слова можно переставлять. Например:

Semicoherent tensor categories, the quasi-derived product, and the semitorsion sheaf

[posic.livejournal.com]

Ты там определение производной категории выучил уже? Ну, производного функтора, хотя бы? Выучишь — приходи.

[french-man.livejournal.com]

Какой ты нудный!

[posic.livejournal.com]

А ты, я погляжу, очень веселый. Тебе бы над японцами гыгыкать или грузинами. Какую надпись на их наречии не возьмешь — нихрена не понять. Переставить все закорючки в произвольном порядке — ничем не хуже. Вот ведь тупыыые!

[french-man.livejournal.com]

Ой, похоже ты всерьез обиделся. Я задел что-то, чего не следовало задевать. Это совершенно не входило в мои намерения, извини. Я думал, ты или погыгытаешь в ответ, или скажешь, что говно мои шуточки и тп, а оно вот как повернулось.

Я время от времени отпускаю (обычно, под воздействием винных паров) дурацкие шуточки в адрес коллег, но до серьезных обид дело до сих пор не доходило. Вероятно, пора становиться политкорректным.

ПС Что такое производный функтор, я, кстати, знаю. Ну, не до такой степени, чтоб дать сходу строго формальное определение, но общее понятие имею. С производными категориями сложнее. Когда-то в юности я пытался читать книгу Гельфанда-Манина, но быстро сломался.

[posic.livejournal.com]

О, вот видишь, наконец-то ты что-то заметил. Поясняю: твоя манера общаться со мной в последние примерно два года последовательно выходит все дальше и дальше за рамки приемлемого. Это примерно первый твой коммент на моих страницах, в последние два года, про который я НЕ могу сказать, что он демонстрирует новый шаг вниз по склону.

Я не знаю, винные пары ли это помогли тебе развить такое уверенное движение в определенном направлении, или еще там что. Вообще не знаю, какая моча ударила тебе в голову, после стольких лет виртуального знакомства, что ты вообразил, будто я заинтересован выслушивать твои поучения, как мне жить. Некоторое время я просто наблюдал, как это будет развиваться, потом стал делать выводы. Я давно уже расфрендил тебя в Фейсбуке, а теперь и в ЖЖ.

Я не политкорректностный social justice подонок и погромщик, и преследовать тебя вовсе не собираюсь, как ты мог бы легко догадаться. Вообще, как я погляжу, это превращается в популярный риторический ход — как раньше трусливые приверженцы политкорректности оправдывали ее как якобы вежливость, так теперь хамы оправдывают свое хамство как якобы неполиткорректность.

Но худшее, что тебе может грозить с моей стороны — это бан. Невеликая, прямо скажем, потеря; но к ней ты уже очень близок.

[french-man.livejournal.com]

Ой, как все серьезно. Честно говоря, я не заметил, что ты меня где-то отфрендил. Твои записи регулярно появляются у меня во фбучной ленте. Точнее, появлялись: я от фбука отписался до конца мая, слишком много всякой текущей хуйни. Потому, собственно, и пасусь тут или на minds.

Я вот задумался, когда я тебя последний раз в фбуке комментил. Кажется, это было года два или три назад, по поводу публикации в каком-то журнале. Ты тогда действительно нервно отреагировал, и я не помню, чтоб я у тебя оставлял комментарии после этого. Могу ошибаться, конечно. Добавлю опять: я отношусь к тебе с большим уважением, и совершенно не желаю сознательно тебя оскорблять или раздражать. И уж точно не желаю учить тебя жизни.

Хочешь банить — ну, бань, насильно мил не будешь. А по поводу епитетов типа «хам» или «трусливый приверженец политкорректности» — у меня довольно толстая кожа ;)

[(Anonymous)]

Я не специалист по алгебраической геометрии. И вообще не специалист по какой-то там алгебре и геометрии. Но все таки обывательски инетересно. Полубесконечная алгебраическая геометрия -- это что же такое вообще по простому, без полупроизводной категории? Эта геометрия только таким "языком" описывается? Или её можно сконструировать как-то иначе, без "категорий", "функторов" и т.д. и т.п.?

[timovadia (from livejournal.com)]

Все таки по обывательски интересно вот что. Полубесконечная алгебраическая геометрия — что же на самом деле это такое по простому, без полупроизводной категории? Можно ли для описания этой геометрии использовать иной "язык", без всяких там "категорий", "функторов" и т.д. и т.п.?

[posic.livejournal.com]

Математика — искусство для посвященных. Без всяких там категорий и функторов ничего сделать нельзя. На уровне самого общего поверхностного представления, я могу предложить первые три абзаца постинга https://posic.livejournal.com/2344695.html или разделы 0.1-0.3 введения к препринту https://arxiv.org/abs/2104.05517 . Там нет категорий и функторов, но есть другие математические термины — множества, топологические пространства, векторные пространства, координаты и проч.

[timovadia (from livejournal.com)]

Пытаюсь осмыслить первый абзац https://posic.livejournal.com/2344695.html

Ну вот, например. Пусть X --- не менее чем счетное множество. И пусть подмножества A*, B* множества X --- это полубесконечные множества.

1) Сразу мучает вопрос. Вот сказали мы, что A*, B* --- некоторые полубесконечные множества. Но все-таки смысл названия "полубесконечные" так и не ясен. Что такое "полубесконечные" множества?

Далее. Подмножества A*, B* --- бесконечные и дополнения к ним бесконечны. Однако A* и B* отличаются друг от друга только конечным множеством.

2) Тут другой вопрос. Отличаются в смысле? Я понял это так --- разности A*\B* и B*\A* --- всегда конечные непустые множества. Или не так?

[posic.livejournal.com]

1) Не могу прокомментировать.

2) Да, конечные — но нет, могут быть пустыми. В остальном так.

[timovadia (from livejournal.com)]

Почему бы не дать комментарий про "полубесконечное" множество? У него есть определение?

[posic.livejournal.com]

Вы знакомы с понятием топологического пространства? В контексте абстрактного понятия топологического пространства — что такое открытое множество? У него есть определение?

[posic.livejournal.com]

Или вот, с понятием группы вы знакомы? Что такое произведение двух элементов группы? Как оно определяется?

[timovadia (from livejournal.com)]

Просто знаком с некоторыми определениями. Вся фишка в том, что у разных авторов по разному опеределяется. Да, некоторые авторы просто вводят на пространстве топологическую структуру состоящую из набора подмножеств, которые они называют открытыми. Но есть авторы, которые вообще не говорят про открытые подмножества. Топологическое пространство у них определяется через фильтры элементов этого пространства с объяснением того, что такое фильтр. Еще есть авторы, которые говоря про некоторое множество, требуют вначале выполнение некоторых условий (аксиом), потом говорят, что их справедливость означает наличие топологии на множестве, потом они называют это все топологическим пространством, а вот в самом конце они (как бы невзначай) называют элементы топологии открытыми множествами топологического пространства. К тому же я встречал стандартное определение открытого множества топологического пространства --- "Множество в топологическом пространстве называется открытым, если оно содержит окрестность каждой своей точки". Поэтому из-за такой вот каши трудно сказать что-то.

У вас "полубесконечная" структура на множестве определяется наличием некоторых "полубесконечных" подмножеств, которые определяются какими-то хитрыми свойствами. В определении абстрактного топологического пространства все-таки все (а не некоторые) элементы его топологии называют открытыми множествами. Извините, лично мне такая разница причиняет дискомфорт. А вот если в некотором множестве не найдутся два полубесконечных подмножества, а будет только одно полубесконечное, то будет ли это множество с полубесконечной структурой?

Понимаю, что все определить невозможно. Это у нас там "множество" считается неопределимым понятием. Сам Кантор пытался придать ему все-таки какой-то смысл. Хотя, как только мы что нибудь говорим о множестве, произносим слова --- то мы сами и пытаемся в контексте определить его. Что вам скаже одна фраза: "Пусть X --- множество" Да ничего. Далее следует сказать что-то более осмысленное. Например, "пусть X — множество целых чисел" или "пусть X — множество с некоторым свойством" и далее назвать это свойство. Так же?

Вы профессионал в этой области, а я всего лишь обычный любитель детского уровня. Поэтому я меньше спорю, чем пытаюсь разобраться. Может что-то проясниться. Надо подумать. Наивный пример не придумывается. Или привести пример --- это может быть таким упражнением на понимание понятия "полубесконечного" пространства?

[posic.livejournal.com]

"Элементы топологии" — это как минимум, двусмысленное словосочетание. В топологическом пространстве есть 1. точки (это то, что математик, вероятно, мог бы назвать "элементами"), 2. открытые подмножества, 3. их дополнения — замкнутые подмножества, 4. разные другие виды подмножеств, которые можно рассматривать (те же окрестности и проч.).

Определение "множество называется открытым, если оно содержит окрестность каждой своей точки" просто заменяет одно неопределяемое понятие другим. Я привык к тому, что топологическое пространство — это множество, снабженное набором подмножеств, которые называются открытыми. Это обычное для профессионального математика определение. Оно удобно тем, что легко сформулировать аксиомы, которым должно удовлетворять множество всех открытых подможеств топологического пространства (пересечение конечного семейства открытых подмножеств открыто, объединение любого семейства открытых подмножеств открыто, все пространство как полное подмножество в самом себе открыто, пустое подмножество открыто).

Можно попробовать придумать другое определение в том русле, что топологическое пространство — это множество, для каждой точки которого указано, какие подмножества, содержащие данную точку, являются ее окрестностями. Тогда можно определить открытые подмножества так, как вы написали; но сначала встает вопрос — как аксиоматизировать понятие окрестности. Каким условиям должна удовлетворять совокупность всех окрестностей точек в топологическом пространстве? Мне кажется, это будет сложнее, чем совокупность всех открытых подмножеств аксиоматизировать. Так смотрит на эти вещи математик, привыкший работать с абстрактными теоретико-множественными определениями математических структур.

Мой пойнт был в том, что некоторые понятия в общем случае не имеют своих определений, а возникают и существуют в рамках других определяемых понятий. Если вы хотите привести пример топологического пространства, то вам нужно дать определение, что является открытыми подмножествами вашего топологического пространства в этом примере. Но в общем виде нет определения открытого подмножества; есть определение топологического пространства, в рамках которого существует понятие об открытом подмножестве.

[posic.livejournal.com]

То же с полубесконечной структурой на множестве. Задать на множестве полубесконечную структуру — значит сказать, какие подмножества мы будем называть полубесконечными. Конкретный (в каком-то смысле главный, "тематический") пример полубесконечной структуры на множестве всех целых чисел обсуждается здесь — https://posic.livejournal.com/2344695.html?thread=6378231#t6378231

Если заглянуть в раздел 0.1 препринта https://arxiv.org/abs/2104.05517 , там прописано формальное определение.

[timovadia (from livejournal.com)]

Отлично, спасибо! То есть мы можем забыть о всяких там открытых множествах в классической терминологии анализа (через окрестности)? Как я понимаю, такое представление об объекте в алгебраической геометрии не требуется, может даже и вредно? И думать (без всякой там задней мысли) о некотором абстрактном объекте называемом открытым множеством, для наших дальнейших нужд, что бы это ни значило?

[posic.livejournal.com]

Ну да, задать топологию (структуру топологического пространства) на множестве — значит сказать, какие его подмножества называются открытыми (открытыми в этой топологии). Словом "окрестность" тоже бывает удобно пользоваться, конечно, но скорее окрестности определяются через открытые множества, чем открытые множества через окрестности.