Вот, например, алгебраическая геометрия

[posic]

Что такое алгебраическая геометрия? Ну, это схемы, стэки, инд-схемы, инд-стэки. Все это склеивается разными способами из аффинных схем.

Коммутативному кольцу сопоставляется производная категория модулей. Или ему сопоставляется гомотопическая категория комплексов инъективных модулей. Или комплексов проективных модулей. (Для нетерова кольца с дуализирующим комплексом, разница между последними двумя опциями невелика.) В общем, возникают варианты.

Если схема не аффинная, все это надо как-то клеить. Клеют все это с помощью функторов обратного образа. Их бывает примерно два: звездочка и факториальчик (на самом деле больше). В общем, снова возникают варианты.

Когда решено, что и как клеить, в дело включается машинерия (бесконечность,1)-категорий, квазикатегорий или как там их. Надо взять гомотопический предел диаграммы квазикатегорий. Форма диаграммы отвечает за способ склейки (стэк, там, или инд-схема).

... В рамках этой (новой) картины мира, задачу о контрагерентных копучках нельзя даже поставить. Нет никакого способа придти к понятию очень плоского модуля, очень плоской гипотезе и т.д.

Эти понятия живут в старой картине мира, подчеркивающей абелевы (или хотя бы точные) категории, точные (или хотя бы близкие к точным) функторы и т.д. Нет ли абелевой или точной категории модульных объектов на неаффинной схеме, в которой бесконечные произведения точны (а суммы не точны)? Что мешает ее существованию? Про триангулированные или (бесконечность,1)-категории таких вопросов не задашь, там нет никакой "неточности бесконечных произведений".

В общем, как обычно: новая технология могущественна и привлекательна, а чего нельзя сказать на новом языке, того как бы и не существует. Фронт модной науки ушел вперед, а я остался такой антифутурист и консерватор. Консерватизм мой состоит в приверженности моим же собственным детским и юношеским математическим впечатлениям. Я заполняю технические лакуны устаревшей картины мира.

Чем меньше читателей у моих текстов, тем больше мне хочется писать новые тексты в надежде, что хоть у них найдутся читатели. Читатели жалуются, что текстов слишком много. Читателей мало, а сильных среди них совсем мало, практически нет. Редкие исключения.

... Может быть, мой способ заниматься математикой принес бы больше пользы в мире, более соответствующем моим представлениям о должном. В котором было бы меньше слабых математиков и больше сильных, меньше конформизма и больше самоотверженности, меньше любви к карьере и больше к науке ради науки и т.д. Но единственный способ воплотить любой идеал в социальную реальность состоит в том, чтобы самому жить по его правилам.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Ну, есть же т-структуры.:) А те точные категории, которые Вы рассматриваете (или, может быть, вообще любые?) можно выделить внутри их производных при помощи каких-нибудь "обобщенных т-структур"?

[posic.livejournal.com]

t-структуры есть (т.е., бывают). Ключевое понятие в контесте вопроса о триангулированных категориях, происходяющих из абелевых — не t-структура "вообще", а t-структура производного типа. Т.е., такая, в которой Ext-ы в сердцевине (между объектами сердцевины) такие же, как в объемлющей триангулированной категории.

При этом даже t-структура производного типа описывает только ту часть триангулированной категории, которая порождается сердцевиной (т.е., на которой t-структура ограничена). Во всяком случае, я не знаю, каким образом даже невырожденная, но неограниченная t-структура производного типа позволит вам описать всю триангулированную категорию как неограниченную производную категорию от сердцевины.

Это не говоря уже о том, что абелевой категории можно сопоставить не одну, а целый ряд триангулированных категорий, среди которых, как минимум, четыре "неограниченных в обе стороны" (если в абелевой категории точны прямые суммы и произведения). Производная, копроизводная, контрапроизводная, абсолютная производная. Плюс еще параметрические семейства полу- и псевдопроизводных категорий, зависящих от выбора дополнительных данных.

Аналогом понятия t-структуры (точнее, сердцевины) для точных категорий является следующее простое условие. Пусть в триангулированной категории D есть полная подкатегория E, замкнутая относительно расширений и такая, что между ее объектами нет Ext-ов с отрицательными номерами в D. Тогда на E индуцируется структура точной категории, при этом появляется естественное отображение из Ext-ов в E в Ext-ы в D (между объектами из E). Таким образом, можно сформулировать условие производности типа. При этом условии, порожденная E триангулированная подкатегория в D эквивалентна D^b(E) (если предполагать существование дополнительной структуры на D, позволяющей построить функтор реализации).

[buddha239.livejournal.com]

нет Ext-ов с отрицательными номерами в D — и этого условия достаточно? А где об этом написано, не знаете?

[posic.livejournal.com]

В моей статье, вам хорошо известной — https://arxiv.org/abs/1006.4343 , раздел A.8.

[buddha239.livejournal.com]

Спасибо!

[buddha239.livejournal.com]

А все-таки — есть какие-нибудь способы "выделить" в производной категории исходную точную?

А Ваша статья должна давать интересные примеры весовых и т-структур; сейчас читать буду.:)

[pirkosha.livejournal.com]

А все-таки — есть какие-нибудь способы "выделить" в производной категории исходную точную?

Вот есть такое, например:
https://arxiv.org/abs/1602.08253