Leonid Positselski

То, что это называется "pigeonhole principle", Кострикин не сказал?

From:

Не помню. Наверно, нет. В любом случае, не по-английски же...

From:

Да, по русски это называется "принцип Дирихле" (почему? не знаю).

From:

Да, многие слыхали о принципе Дирихле еще в школе. И, естественно, всегда думали о нем как о тривиальном утверждении. А тут они поступили в ажно самый мехмат МГУ, и на лекции солидный дядя-профессор им это утверждение доказывает. С использованием ученых слов "инъективность" и "сюръективность" в формулировке, а уж какое мудреное научное доказательство...

From:

Это для меня всегда было стандартной проблемой при соприкосновении с алгебраистами. Они с усердием начинают изучать формальную оболочку до того, как внутри окажется достаточно много примеров, позволяющих наработать правильную интуицию.

Классический пример, - когда меня учили алгебре на мехмате, то всегда главным примером коммутативного кольца выступали целые числа, крайне редко - полиномы, рассматриваемые как формальные выражения.

Глаза раскрыл Арнольд, который попросту заявил без обиняков: коммутативное кольцо - это всегда кольцо каких-то относительно хороших функций на чём-то неплохом.

From:

Наверно, дело в том, что алгебре надо учиться не на мехмате. А в НМУ или на матфаке. Впрочем, и не алгебре тоже.

From:

Мехмат вообще умер. Гроб повапленный, который в хуемерках куда-то подадает только потому, что Новиков, Маргулис, Окуньков и Концевич когда-то там или работали, или учились.

Пятнадцать лет назад у меня была летняя студентка с мехмата, очень толковая девочка, но дремучая. Она не знала, что такое "заседания Московского мат. общества".

From:

В общем, короче, в то недолгое время, когда я преподавал на матфаке, там были "листочки". (Как были они и в 57-й школе, и, говорят, в НМУ). Листочки те были полны примеров. Функций (по анализу), групп, колец коммутативных и некоммутативных, векторных пространств... (по алгебре), и т.д.

From:

Мне оба семестра Высшей алгебры читал "однорукий бандит" Л. А. Скорняков. Это был чудовищный формализм, в его изложении я не сразу понял, что такое детерминант (хотя знал это со школы). Появление курс Кострикина (книжка вышла, когда мы были ещё студентами) была просто Откровением: оказывается, так тоже можно было! А уж когда в зелёной серии ВИНИТИ вышел томик "Алгебра" Шафаревича, я наслаждался чисто эстетически, поскольку уже набил все мыслимые шишки по дороге к пониманию того, что ИР так блистательно объяснял...

From:

Сорри? оно, конечно, довольно тривиально выводится из принципа Дирихле (и наоборот), но, по моему (не)скромному мнению, этот вывод сопоставим по сложности с доказательством "напрямую" что одного, что второго..

From:

Если что, доказательство Кострикин рассказывал примерно следующее. Пусть f: X --> X -- отображение из конечного множества в себя, скажем, инъективное. Из конечного множества в конечное множество существует только конечное число отображений. Рассмотрим последовательность итераций f, f^2, f^3, ..., f^n, ... (композиций f с собой, взятых сколько-то там раз). Поскольку отображений X --> X всего конечное число, найдутся m < n, такие что f^m = f^n. Пусть x -- элемент множества X; тогда f^n(x) = f^m(x). Поскольку f инъективно, то отсюда следует, что f^{n-m}(x) = x. Таким образом, x лежит в образе отображения f, что и требовалось доказать.

From:

Ответ на нерасскриненный пока коммент: это теорема Кантора-Бернштейна, и она вполне глубокая и содержательная, поскольку касается бесконечных множеств. У неё есть красивые доказательства.

From:

Да, спасибо, Бернштейн вторая фамилия!

From:

Доказательство несложное и интересное, но почему-то выглядит все-таки слишком изощренным для такого простого на вид утверждения.
И, к слову, пользуется двумя утверждениями, которые сами по себе конечно тоже несложны, но и не более очевидны, чем тот факт, что доказываем:

1) множество отображений в себя для конечного множества конечно, и
2) любое отображение множества натуральных чисел в конечное множество не-инъективно.
Все равно надо определять, что такое "конечное множество".

From:

Самый рабоче-крестьянский способ доказательства - считать образы и прообразы без всяких премудростей. Если отображение не инъективно, то образов будет меньше, чем прообразов (кто-то склеил ласты с кем-то, и это ничем не компенсируется), и всех покрыть не получится. Если отображение не сюръективно, то кто-то должен склеить ласты по тем же соображениям.

На таких тривиальных примерах в самом деле поучительно тренировать формальные конструкции, которые в будущем будут работать в более общих ситуациях, но делать это сильно заранее - бессмысленно. Замысловатое доказательство очевидного утверждения скорее наводит на мысль о каком-то шарлатанстве.

From:

Ох, взялся за гуж да в разговоре с такими солидными людьми...
Тут ведь все дело в том, из чего доказываем.

По-моему, считать образы и прообразы это в неявном виде пользоваться тем же самым для начальных отрезков нат.ряда.
Я вообще не помню, чтобы нам Яковлев на первом курсе что-то такое доказывал - там довольно сходу была менее тривиальная теорема (не помню, как ее называли, чьи-то фамилии, кажется даже Кантора) - если есть инъекция из А в Б и из Б в А, то есть и биекция между ними, то есть они равномощны. Наверное, частный случай для конечных множеств там был примерно нулевым замечанием в док-ве, но в памяти не отложился.

Но я примерно помню что у нас было и из чего просто делается ясное доказательство для конечных множеств.

1) определение - конечным называется множество, не равномощное никакому своему собственному подмножеству.
2) лемма - инъекция всегда есть биекция прообраза на образ.

Edited Date: 2020-12-21 11:20 am (UTC)

From:

https://posic.livejournal.com/2239241.html?thread=6264585#t6264585

From:

Я веду речь исключительно о том, что все это дико, неуместно и вредно на лекции для первокурсников. Студенты пришли в университет, чтобы узнать что-нибудь новенькое, а не созерцать, как дядя профессор замысловато переливает банальности из пустого в порожнее.

"Все дело в том, из чего доказываем," -- совершенно верно, но актуально это в рамках трактата Бурбаки или какого-нибудь специализированного учебника по теории множеств. А не на вводной лекции по алгебре для студентов мехмата, вчерашних школьников, большинство из которых самим понятием математического доказательства-то еще толком не овладели. Совершенно незачем демонстрировать им, что доказательства существуют для того, чтобы "доказывать" очевидные вещи непонятными способами.

From:

Совершенно не согласен, но дискутировать никак не могу.

From:

https://www.facebook.com/posic/posts/4198157563532379

From: