Ключевыми понятиями
Sep. 16th, 2020 05:14 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicмоей "пропущенной классиками половины алгебры" являются:
1. CDG-кольца и другие дифференциальные алгебраические структуры с кривизной (CDG-коалгебры, искривленные А-бесконечность (ко)алгебры) и модули над ними;
2. производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные и абсолютные производные категории);
3. контрамодули и контрагерентные копучки;
4. относительные и смешанные конструкции на основе вышеперечисленного (полуалгебры, полумодули и полуконтрамодули; полупроизводные категории).
CDG-кольца появились в моей студенческой работе 1993 года, в контексте неоднородной квадратичной двойственности. Потом они подробно обсуждались в книжке про квадратичные алгебры, вышедшей из печати в 2005 году. Тем очень умеренным и относительным, но все же признанием, которым сейчас пользуются искривленные алгебраические структуры, они обязаны матричным факторизациям.
Матричные факторизации впервые появились в статье Эйзенбада 1980 года, но популярность приобрели после того, как оказались востребованы (очень математизированными) физиками в 00-х годах. Я узнал об их существовании где-то около 2008-09 годов. Для меня матричные факторизации всегда оставались очень специальным частным случаем CDG-модулей, настолько, что мне казалось неловко специально на них останавливаться. Но все же я написал про них две работы (задачи про матричные факторизации как стимулы для развития общей теории оказались очень неплохи).
Искривленные А-бесконечность алгебры и категории также появляются в современной матфизике в контексте категорий Фукаи (о чем я тоже написал длинный текст, подчеркивающий важность условия слабой кривизны и объясняющий, как им пользоваться). Так или иначе, самое позднее, к 2012-13 годам уже можно было считать, что CDG-кольца не нуждаются в моих дальнейших усилиях по их популяризации.
Производные категории второго рода я придумал в марте-апреле 1999 года. Важность контрамодулей над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами была осознана летом 2000 года. Идея комодульно-контрамодульного соответствия восходит к 2000-02 годам. Но первые мои архивные препринты на все эти темы были обнародованы только в 2007-09. Определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось в 2007-08 годах; контрагерентные копучки родились на свет в 2012.
Главной целью написания моих вышеупомянутых работ про матричные факторизации в 2010-11 годах была популяризация производных категорий второго рода (копроизводных и абсолютных производных категорий). В целом похоже, что это сработало.
Основным направлением моей деятельности в 2015-19 годах стала популяризация контрамодулей и ко-контра соответствия -- поиск приложений и связей с разными алгебраическими сюжетами. На нынешний момент можно сказать, что в этом направлении многое удалось сделать (намного больше в обозримой перспективе вряд ли получится). Кроме того, появились на свет псевдопроизводные (т.е. псевдо-копроизводные и псевдо-контрапроизводные) категории и проч.
Построение пар кокручения в категориях контрамодулей (2013-15) и доказательство очень плоской гипотезы (2017) прокладывают дорогу для теории контрагерентных копучков.
1. CDG-кольца и другие дифференциальные алгебраические структуры с кривизной (CDG-коалгебры, искривленные А-бесконечность (ко)алгебры) и модули над ними;
2. производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные и абсолютные производные категории);
3. контрамодули и контрагерентные копучки;
4. относительные и смешанные конструкции на основе вышеперечисленного (полуалгебры, полумодули и полуконтрамодули; полупроизводные категории).
CDG-кольца появились в моей студенческой работе 1993 года, в контексте неоднородной квадратичной двойственности. Потом они подробно обсуждались в книжке про квадратичные алгебры, вышедшей из печати в 2005 году. Тем очень умеренным и относительным, но все же признанием, которым сейчас пользуются искривленные алгебраические структуры, они обязаны матричным факторизациям.
Матричные факторизации впервые появились в статье Эйзенбада 1980 года, но популярность приобрели после того, как оказались востребованы (очень математизированными) физиками в 00-х годах. Я узнал об их существовании где-то около 2008-09 годов. Для меня матричные факторизации всегда оставались очень специальным частным случаем CDG-модулей, настолько, что мне казалось неловко специально на них останавливаться. Но все же я написал про них две работы (задачи про матричные факторизации как стимулы для развития общей теории оказались очень неплохи).
Искривленные А-бесконечность алгебры и категории также появляются в современной матфизике в контексте категорий Фукаи (о чем я тоже написал длинный текст, подчеркивающий важность условия слабой кривизны и объясняющий, как им пользоваться). Так или иначе, самое позднее, к 2012-13 годам уже можно было считать, что CDG-кольца не нуждаются в моих дальнейших усилиях по их популяризации.
Производные категории второго рода я придумал в марте-апреле 1999 года. Важность контрамодулей над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами была осознана летом 2000 года. Идея комодульно-контрамодульного соответствия восходит к 2000-02 годам. Но первые мои архивные препринты на все эти темы были обнародованы только в 2007-09. Определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось в 2007-08 годах; контрагерентные копучки родились на свет в 2012.
Главной целью написания моих вышеупомянутых работ про матричные факторизации в 2010-11 годах была популяризация производных категорий второго рода (копроизводных и абсолютных производных категорий). В целом похоже, что это сработало.
Основным направлением моей деятельности в 2015-19 годах стала популяризация контрамодулей и ко-контра соответствия -- поиск приложений и связей с разными алгебраическими сюжетами. На нынешний момент можно сказать, что в этом направлении многое удалось сделать (намного больше в обозримой перспективе вряд ли получится). Кроме того, появились на свет псевдопроизводные (т.е. псевдо-копроизводные и псевдо-контрапроизводные) категории и проч.
Построение пар кокручения в категориях контрамодулей (2013-15) и доказательство очень плоской гипотезы (2017) прокладывают дорогу для теории контрагерентных копучков.
no subject
Date: 2020-09-28 10:46 am (UTC)no subject
Date: 2020-09-28 11:46 am (UTC)