Ключевыми понятиями

[posic]

моей "пропущенной классиками половины алгебры" являются:

1. CDG-кольца и другие дифференциальные алгебраические структуры с кривизной (CDG-коалгебры, искривленные А-бесконечность (ко)алгебры) и модули над ними;

2. производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные и абсолютные производные категории);

3. контрамодули и контрагерентные копучки;

4. относительные и смешанные конструкции на основе вышеперечисленного (полуалгебры, полумодули и полуконтрамодули; полупроизводные категории).

CDG-кольца появились в моей студенческой работе 1993 года, в контексте неоднородной квадратичной двойственности. Потом они подробно обсуждались в книжке про квадратичные алгебры, вышедшей из печати в 2005 году. Тем очень умеренным и относительным, но все же признанием, которым сейчас пользуются искривленные алгебраические структуры, они обязаны матричным факторизациям.

Матричные факторизации впервые появились в статье Эйзенбада 1980 года, но популярность приобрели после того, как оказались востребованы (очень математизированными) физиками в 00-х годах. Я узнал об их существовании где-то около 2008-09 годов. Для меня матричные факторизации всегда оставались очень специальным частным случаем CDG-модулей, настолько, что мне казалось неловко специально на них останавливаться. Но все же я написал про них две работы (задачи про матричные факторизации как стимулы для развития общей теории оказались очень неплохи).

Искривленные А-бесконечность алгебры и категории также появляются в современной матфизике в контексте категорий Фукаи (о чем я тоже написал длинный текст, подчеркивающий важность условия слабой кривизны и объясняющий, как им пользоваться). Так или иначе, самое позднее, к 2012-13 годам уже можно было считать, что CDG-кольца не нуждаются в моих дальнейших усилиях по их популяризации.

Производные категории второго рода я придумал в марте-апреле 1999 года. Важность контрамодулей над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами была осознана летом 2000 года. Идея комодульно-контрамодульного соответствия восходит к 2000-02 годам. Но первые мои архивные препринты на все эти темы были обнародованы только в 2007-09. Определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось в 2007-08 годах; контрагерентные копучки родились на свет в 2012.

Главной целью написания моих вышеупомянутых работ про матричные факторизации в 2010-11 годах была популяризация производных категорий второго рода (копроизводных и абсолютных производных категорий). В целом похоже, что это сработало.

Основным направлением моей деятельности в 2015-19 годах стала популяризация контрамодулей и ко-контра соответствия -- поиск приложений и связей с разными алгебраическими сюжетами. На нынешний момент можно сказать, что в этом направлении многое удалось сделать (намного больше в обозримой перспективе вряд ли получится). Кроме того, появились на свет псевдопроизводные (т.е. псевдо-копроизводные и псевдо-контрапроизводные) категории и проч.

Построение пар кокручения в категориях контрамодулей (2013-15) и доказательство очень плоской гипотезы (2017) прокладывают дорогу для теории контрагерентных копучков.

Comments

[(Anonymous)]

Добрый день, извините за оффтоп, но есть ли у вас программа по типу куррикулума Вербицкого, своеобразная general-roadmap по чистой-гомологической алгебре, чтоб понимать, какой уровень знаний и к какому сроку должен быть для комфортной работы на стезе настоящего исследователя, а не вульгарного постмодерниста, и для восприятия+развития ваших идей?

[posic.livejournal.com]

Нет, такой программы у меня нет. Я не вижу пользы от программы Вербицкого и не вижу смысла писать свою версию. Учиться можно только у людей, по программе учиться нельзя. И нельзя учиться чистой гомологической алгебре, учиться можно только математике.