Контрпримерное

[posic]

Над полем k существует коалгебра C, для которой есть конечномерный неприводимый C*-модуль, не являющийся C-комодулем (а значит, раз неприводимый, то и C-контрамодулем не являющийся), тогда и только тогда, когда k конечно. Потому что (счетное) ультрапроизведение копий конечного поля совпадает с ним самим, а бесконечного поля -- бесконечномерно.

Update. Я ошибся; почему собственно речь зашла именно о счетных ультрапроизведениях? Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Update 2. http://community.livejournal.com/ru_math/550930.html

Comments

[roma.livejournal.com]

sorry, eto ja pisal pro otobrazhenie C^n v C^n, zabyl zaloginit'sja

[bbixob.livejournal.com]

nu da, есть мат.логическа характеризация ультрапроизведений. точней, того отношения, когда два алг.стуктуры имеют изоморфные ултьтапроизведения---а именно, когда в них верны одни и те же формулы логические (первого порядка).

[roma.livejournal.com]

Я не вполне понял как применение, о котором писал я, относится к тому о чем говорите вы. В применении идея брать ультрапроизведение полей разных характеристик. Казалось бы, все возникающие структуры
-- поля разных конечных характеристик, и поле хар-ки нуль, возникающее как ультрапроизведение, не изоморфны.

[bbixob.livejournal.com]

you are right, i was being sloppy. there is another theorem, which is in fact much easier ---
a first order sentence is true in the ultraproduct if it is true in all the factors. that's where your application comes from.

and i should have said 'ultrapowers', not 'ultraproducs' ,as is cluer from the context.
(ps: sorry for writing (bad) english--it is faster for me).

[bbixob.livejournal.com]

btw, this application was rather clearly explained in a paper of gromov
where he introduces the word 'surjunctive'.

(is it M. Gromov, Endomorphisms of symbolic algebraic varieties ?)

[roma.livejournal.com]

thanks for the reference! [I did not know Gromov wrote about such things]