Контрпримерное

[posic]

Над полем k существует коалгебра C, для которой есть конечномерный неприводимый C*-модуль, не являющийся C-комодулем (а значит, раз неприводимый, то и C-контрамодулем не являющийся), тогда и только тогда, когда k конечно. Потому что (счетное) ультрапроизведение копий конечного поля совпадает с ним самим, а бесконечного поля -- бесконечномерно.

Update. Я ошибся; почему собственно речь зашла именно о счетных ультрапроизведениях? Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Update 2. http://community.livejournal.com/ru_math/550930.html

Comments

[bbixob.livejournal.com]

you are right, i was being sloppy. there is another theorem, which is in fact much easier ---
a first order sentence is true in the ultraproduct if it is true in all the factors. that's where your application comes from.

and i should have said 'ultrapowers', not 'ultraproducs' ,as is cluer from the context.
(ps: sorry for writing (bad) english--it is faster for me).