Что я понял за последний год?

То, что у плоских модулей, плоских пучков, плоского чего угодно копроизводная категория совпадает с производной. Когда этому можно придать смысл, то и с контрапроизводной категорией совпадает. При подходящих предположениях, естественно: все должно быть достаточно плоским. А определять копроизводную категорию, ну в смысле коацикличные объекты, надо беря замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых пределов. А не прямых сумм, как в моем традиционном подходе. Вот, что я понял за последний год. Все это не очень ново, конечно. Но всему свое время. Иногда наступает время и продумывать идеи изначально не свои.

А что отсюда следует? Например, то, что двум рукавам теории контрагерентных копучков должны, по идее, соответствовать два рукава теории плоских матричных факторизаций бесконечного ранга на бесконечномерной схеме. Можно рассматривать очень плоские матричные факторизации и определять коацикличные объекты как замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых сумм (как бы "в моем смысле"). А можно рассматривать произвольные плоские матричные факторизации, и определять коацикличные объекты как замыкание абсолютно ацикличных относительно прямых пределов (как бы "в смысле Беккера"). В итоге копроизводная категория должна получаться при обоих подходах одинаковая.

Интересная какая судьба задачи про копроизводные категории в моем смысле

версус копроизводные категории в смысле Беккера. С одной стороны, вопрос формально остается открытым, контрпримера нет. Я надеялся на доказательство и перестал надеяться. С другой стороны, очень многое вокруг понято. Задача не решилась, но как бы постепенно рассасывается. Перестает казаться важной открытой проблемой, торчащей, как заноза. Начинает выглядеть не столько задачей, сколько логичной, естественной частью ландшафта.