Придумал, как объяснить, что такое полубесконечная геометрия

Сначала надо определить, что такое "множество с полубесконечной структурой". Это такое (бесконечное) множество, про которое сказано, какие подмножества в нем называются полубесконечными. Полубесконечное подмножество бесконечно и дополнение к нему бесконечно, но любые два полубесконечных подмножества отличаются одно от другого только конечным множеством.

Дополнения к полубесконечным подмножествам надо тоже как-то называть. "Кополубесконечными", скажем.

Теперь полубесконечное пространство -- это такое, в котором (локальные или глобальные) координаты занумерованы множеством с полубесконечной структурой. Можно потребовать, чтобы для любой точки пространства множество номеров координат, которые в этой точке не зануляются, было полубесконечным подмножеством (точнее, конечно, содержалось в полубесконечном подмножестве -- все координаты могут быть равны нулю одновременно, но вот все не равны нулю одновременно они не могут быть). Дальше можно определить полубесконечные подмногообразия и т.д.

Главный технический, гомологический принцип моего подхода к полубесконечной алгебре и геометрии гласит, что надо рассматривать полупроизводную категорию. Это значит, брать производную категорию вдоль полубесконечного подмножества координат и копроизводную категорию вдоль его дополнения -- кополубесконечного подмножества координат.

Проникнуться этим принципом трудно, поскольку на первый взгляд кажется, что разница между производной и копроизводной категорией не так уж и велика, и вообще непонятно, почему это так важно. Но важно это потому, что на производной категории хорошо себя ведет тензорное произведение, а на копроизводной -- котензорное. Другими словами, между производными категориями действует левый производный функтор *-ограничения, а между копроизводными категориями -- правый производный функтор !-ограничения. Тут разница уже более ощутима. А чтобы заметить, почему это так, надо систематически рассматривать неограниченные в обе стороны комплексы. Ну, и так далее.

А как отличить, по каким координатам производная категория, а по каким копроизводная? Можно так: если у вас расслоение, то вдоль базы надо брать копроизводную категорию, а вдоль слоя производную. А можно и так: если у вас бесконечный набор координат, которым всем разрешено не зануляться одновременно, то от этого надо брать производную категорию; а если наложено условие, что только конечное подмножество координат может принимать ненулевые значения одновременно в какой-либо точке, то по таким координатам надо брать копроизводную категорию.

Заглянул в Архив. Ох, ну что это? Опять двадцать пять

Мне хотелось воздаяния, и вот оно, на пороге. Да? Это оно? Всем нам воздастся по заслугам, и мне, и "математическому сообществу", которому я так любил себя противопоставлять. Вот в такой форме и воздастся? Так теперь всегда и будет? По другим тематикам моих работ тоже так будет?

Так и будет, что на каждую мою работу или серию работ, глубоких, оригинальных, содержательных, нетривиальных, трудных для восприятия, депрессивных, несаморекламных, где попало опубликованных -- "в развитие" каждой такой серии моих работ, бодрое человечество напишет вдесятеро больше работ банальных, с первого взгляда очевидных, никакого нового содержания не несущих, целиком сводящихся к тривиальностям, оптимистичных, цветуще саморекламных? И эти работы оторвут с руками и издадут в самых престижных изданиях?

И как мне теперь на это смотреть? Радоваться, что ссылаются на меня? Добрые люди, уважительно сослались, спасибо им. Да?

Лопухнулся я

с тензорным произведением плоских комплексов на инъективные. Над нетеровым кольцом или нетеровой схемой, тензорное произведение ацикличного комплекса плоских модулей с плоскими модулями коциклов на любой комплекс инъективных модулей -- стягиваемый комплекс инъективных модулей. Это лемма Амнона Н. такая, очень просто доказывается (и Амнон пишет, что в диссертации Д.М. об этом тоже что-то есть).

Отсюда следует, что тензорное произведение ацикличного комплекса плоских модулей/пучков с плоскими модулями коциклов на любой комплекс модулей/пучков коациклично (как комплекс в категории произвольных модулей/пучков). В частности, любой ацикличный комплекс плоских модулей с плоскими модулями коциклов, рассматриваемый как комплекс в категории произвольных модулей, коацикличен! Поразительное утверждение, если вдуматься. Предположение конечности размерности Крулля делает это утверждение очевидным (т.к. тогда точная категория плоских модулей имеет конечную гомологическую размерность, так что в ней нет разницы между ацикличностью и коацикличностью). Я использовал это предположение в этом месте, но оно не нужно.

Совсем не выспался сегодня, т.к. послал текст в Архив и до утра исправлял в нем опечатки, а потом проснулся по будильнику, чтобы послушать доклад, из которого узнал ссылку, по которой нашел эту лемму Амнона Н. (и не только). Надо подумать обо всем этом на свежую голову.

P.S. Это не случайный недосмотр с моей стороны, а типичный. Типичный представитель определенного класса явлений, на которых моя интуиция почему-то пробуксовывает и подсказывает рассуждения, основанные на более сильных предположениях, чем необходимо. Я не теоретико-множественный гомологический алгебраист потому что, какая-то такая причина. Или просто слишком идеологизированно подхожу к простым вопросам, где вернее было бы посмотреть на вещи с нескольких разных сторон и поискать элементарных трюков. Может быть, это связанные причины -- более теоретико-множественные алгебраисты менее идеологизированы (или по-другому идеологизированы).

15.06.2021 - Update: промашка исправлена в новой версии препринта.

К предпредыдущему

Дело, собственно, в том, что мир математиков разбит на традиционные, исторически сложившиеся "коммьюнити". У них свои традиционные тематики, "социально одобренные" постановки вопросов, совместно разделяемый образовательный бэкграунд, выводящий к этим постановкам вопросов, стиль работы, отношения между людьми и т.д. Все это передается по цепочкам ученичества, научного руководства, постдочества и т.д.

В длинной перспективе это дает картину "разбегающихся галактик" с утратой связности и образованием больших областей темного когнитивного пространства, которое никто не изучает. Противоположную тенденцию создают суперзвезды, пытающиеся повлиять на всю математику в целом или большие ее разделы. В сущности, я пытаюсь выступать в роли такой суперзвезды, только без соответствующего уровня признания и статуса, и с крайне ограниченными ресурными возможностями.

Я медленно перемещаюсь между разбегающимися галактиками, проводя большие отрезки времени в темном пространстве и пытаясь его высветлить. Иногда мне удается привлечь внимание и сотрудничество сильных людей в том или ином коммьюнити, но в конечном итоге становится ясно, что я занимаюсь вещами 1. немодными и 2. отличающимися от того, чем это коммьюнити занимается.

Поскольку земная слава моя все-таки медленно возрастает, да и математиков становится все больше (больше, чем задач) -- то в последние годы возникает такое явление, как группа слабых людей со слабыми работами, пытающихся создать что-то вроде небольшой новой области коллективной деятельности на высветленном мною участке пространства. Сильные люди либо сидят в своих коммьюнитях, либо если они хотят создавать новые области, они могут взяться развивать очередную модную идею очередной суперзвезды. А мне достаются очень слабые последователи, у которых нет лучших идей, чем писать тривиальные работы на обозначенную когда-то (и уже оставленную) мною эстетически привлекательную тему, которой почти никто не занимается, так что и конкуренции нет.

Может быть, со временем уровень работ в этих новых областях будет повышаться. Но мне кажется более вероятным, что подобная деятельность приобретет дурную славу бессодержательной, бесперспективной тривиальщины и будет заброшена. В худшем случае, может образоваться очередная фабрика по производству пустых работ, подобная многим уже существующим таким фабрикам.