Придумал, как объяснить, что такое полубесконечная геометрия

[posic]

Сначала надо определить, что такое "множество с полубесконечной структурой". Это такое (бесконечное) множество, про которое сказано, какие подмножества в нем называются полубесконечными. Полубесконечное подмножество бесконечно и дополнение к нему бесконечно, но любые два полубесконечных подмножества отличаются одно от другого только конечным множеством.

Дополнения к полубесконечным подмножествам надо тоже как-то называть. "Кополубесконечными", скажем.

Теперь полубесконечное пространство -- это такое, в котором (локальные или глобальные) координаты занумерованы множеством с полубесконечной структурой. Можно потребовать, чтобы для любой точки пространства множество номеров координат, которые в этой точке не зануляются, было полубесконечным подмножеством (точнее, конечно, содержалось в полубесконечном подмножестве -- все координаты могут быть равны нулю одновременно, но вот все не равны нулю одновременно они не могут быть). Дальше можно определить полубесконечные подмногообразия и т.д.

Главный технический, гомологический принцип моего подхода к полубесконечной алгебре и геометрии гласит, что надо рассматривать полупроизводную категорию. Это значит, брать производную категорию вдоль полубесконечного подмножества координат и копроизводную категорию вдоль его дополнения -- кополубесконечного подмножества координат.

Проникнуться этим принципом трудно, поскольку на первый взгляд кажется, что разница между производной и копроизводной категорией не так уж и велика, и вообще непонятно, почему это так важно. Но важно это потому, что на производной категории хорошо себя ведет тензорное произведение, а на копроизводной -- котензорное. Другими словами, между производными категориями действует левый производный функтор *-ограничения, а между копроизводными категориями -- правый производный функтор !-ограничения. Тут разница уже более ощутима. А чтобы заметить, почему это так, надо систематически рассматривать неограниченные в обе стороны комплексы. Ну, и так далее.

А как отличить, по каким координатам производная категория, а по каким копроизводная? Можно так: если у вас расслоение, то вдоль базы надо брать копроизводную категорию, а вдоль слоя производную. А можно и так: если у вас бесконечный набор координат, которым всем разрешено не зануляться одновременно, то от этого надо брать производную категорию; а если наложено условие, что только конечное подмножество координат может принимать ненулевые значения одновременно в какой-либо точке, то по таким координатам надо брать копроизводную категорию.

Comments

[(Anonymous)]

А можно все это проиллюстрировать простым детским примером.

Взять множество N натуральных чисел и предъявить в нем интересную систему полубесконечных множеств? И, по возможности, сказать, чем эта система интересна?

[posic.livejournal.com]

Не нужно брать множество N натуральных чисел. Нужно взять множество Z целых чисел. В нем есть единственная система полубесконечных подмножеств, в которых подмножество натуральных чисел N ⊂ Z — полубесконечное. Это такой тематический пример.

Чем что бы то ни было интересно, я не берусь объяснять. Математика вообще мало кому интересна (и я вовсе не рвусь их переубеждать). Обычно нужно вложить довольно много усилий, чтобы только начало формироваться мнение о том, что интересно и что нет. Неинтересно — займитесь чем-нибудь другим.

[(Anonymous)]

Семейство понятное — множества с конечным числом отрицательных членов и с конечным числом отсутствующих положительных.

Непонятно только, для каких задач такое семейство актуально. Были бы просто с конечным числом отрицательных членов, без ограничения на положительные — получились бы "умеренно хорошие" ряды Лорана, например. Или что-то p-адическое. А вот куда воткнуть ограничение на положительные члены — непонятно.

Интересно не в смысле "зачем Васе Пупкину", а в том смысле, что общие конструкции нуждаются в каких-то мотивировках и предысториях. Вряд ли бы идею общих топологических пространств оценил человек, не имеющий опыта работы с тривиальными частными случаями.

[posic.livejournal.com]

Мотивировкой и предысторией является классическая конструкция Б. Фейгина полубесконечных гомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли, таких как алгебры Вирасоро и Каца-Муди. См. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=2354&option_lang=rus Соответствующая конструкция в физике восходит к "дираковскому морю электронов" (насколько я понимаю). См. https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_sea

[(Anonymous)]

Спасибо. Но нельзя ли какие-то "не физические", "чисто математические" мотивировки.

[posic.livejournal.com]

Математическая мотивировка по первой моей ссылке. Физическая — по второй.

[timovadia (from livejournal.com)]

Тогда, еще одно полубесконечное подмножество этой системы будет, например:

[posic.livejournal.com]

Да.

[a-shen.livejournal.com]

то есть полубесконечные структуры — это просто бесконечные и кобесконечные подмножества с точностью до конечной симметрической разности?

[posic.livejournal.com]

На множествах — да. Полубесконечные и кополубесконечные подмножества.

Следующий этап — векторное пространство с полубесконечной структурой. Известно в науке как тейтовское (или локально линейно компактное) векторное пространство.

[posic.livejournal.com]

Другими словами, твой комментарий суммирует содержание первых двух абзацев комментируемого заглавного постинга. Дальше можно прочитать третий абзац.