Полупроизводная категория "не над базой"

Нижеследующее вдохновлено недавним открытием, что полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, связанной с тейтовским топологическим векторным пространством, не зависит от выбора компактной решетки (т.е., сохраняется всеми линейными заменами координат). Хотя определяется она именно в терминах проекции на факторпространство по компактной решетке (являющееся инд-схемой инд-конечного типа).

Кажется, что в квазикогерентной алгебраической геометрии, где всякое негладкое многообразие гомологически бесконечномерно, на этом открытии далеко не уедешь -- но в контексте топологии алгебраических многообразий, например и в частности в контексте D-модулей, где гомологическая размерность правильно определенной категории D-модулей на негладком конечномерном пространстве конечна (я правильно понимаю?) -- может быть надежда построить теорию на этой основе.

***

Пусть Y -- разумная (в смысле Бейлинсона) инд-схема инд-бесконечного типа над полем характеристики 0. Представим себе, что нам удалось придать смысл понятию D-модуля кручения (т.е., как бы "инд-D-модуля") на Y.

Рассмотрим копроизводную категорию "в смысле Беккера" D-модулей кручения на Y, т.е. попросту гомотопическую категорию неограниченных комплексов инъективных объектов. Я предполагаю, что D-модули кручения образуют категорию Гротендика, так что такая копроизводная категория хорошо себя ведет. В частности, она является стороной полуортогонального разложения гомотопической категории D-модулей кручения, так что у каждого комплекса D-модулей кручения есть такая инъективная резольвента. Подразумевается, что конус морфизма в инъективную резольвенту "коацикличен в смысле Беккера", т.е., ортогонален слева ко всем комплексам инъективных объектов в гомотопической категории.

Будем говорить, что неограниченный комплекс инъективных D-модулей кручения полуацикличен (ужасная терминология, конечно -- полуацикличность сильнее ацикличности, хотя слабее коацикличности), если его !-ограничение на всякую разумную замкнутую подсхему в Y ациклично. Произвольный комплекс D-модулей кручения полуацикличен, если его инъективная резольвента полуациклична. Полупроизводной категорией D-модулей кручения на Y называется факторкатегория гомотопической категории (инъективных или произвольных) D-модулей кручения по толстой подкатегории полуацикличных комплексов.

Можно ли сшить из этого определения дерамовскую полубесконечную алгебраическую геометрию? Или, как там ее назвать, полубесконечную топологию алгебраических многообразий?

Another round of sensitivity training

У женщин вагины. У мужчин пенисы. Ни у тех, ни у других нет совести (по большей части). That's the reason why we are having this absurd and outrageous "transgender" mess.

The first round was here -- https://posic.livejournal.com/934939.html

Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма

В развитие постинга https://posic.livejournal.com/2336338.html

Полупроизводная категория -- это смесь производной категории по части переменных (условно, "образующих алгебру") и копроизводной категории по остальным ("образующим коалгебру"). Полупроизводная категория -- это центральное техническое, гомологическое понятие во всяких полубесконечных делах. В этом главное открытие моей книжки по полубесконечной гомологической алгебре.

В контексте алгебраической геометрии, "переменные коалгебры" означают пространство, сложно склеенное из маленьких аффинных схем -- скажем, инд-нетерову инд-схему или инд-нетеров инд-стэк. "Переменные алгебры" означают пространство, просто склеенное из больших аффинных схем -- скажем, бесконечномерную квазикомпактную полуотделимую схему.

Обычно конструкция полупроизводной категории подразумевает относительную ситуацию -- морфизм колец или пространств, "забывающий переменные алгебры". В этом случае понятно, как полупроизводная категория определяется. Бывают и более сложные конструкции, как например в мемуаре про слабо искривленные A-бесконечность алгебры.

Оставляя пока в стороне D-модули, стоит обсудить определение полупроизводной категории в контексте полубесконечной алгебраической геометрии квазикогерентных пучков кручения, как в моем пишущемся сейчас (апрельском 2021 года) препринте. Самое ограничительное из условий, при которых там развивается теория -- это аффинность морфизма инд-схем π: Y → X. Хотелось бы заменить аффинность на квазикомпактность и полуотделимость (понимаемую в том смысле, что прообраз любой аффинной локально замкнутой подсхемы в Х -- квазикомпактная полуотделимая локально замкнутая подсхема в Y).

Аффинность эта нужна для того, чтобы определять полупроизводную категорию в терминах функтора прямого образа квазикогерентных пучков кручения при морфизме инд-схем Y → X. Чтобы прямой образ был точным и строгим функтором, морфизм должен быть аффинным. На этой почве я еще в каком-то 2013 году размышлял о важности аффинных морфизмов в полубесконечной алгебраической геометрии.

Теперь же мне кажется, что аффинность можно ослабить до квазикомпактности и полуотделимости, хотя и ценой существенного усложнения определения. Пусть π: Y → X -- квазикомпактный, полуотделимый, плоский морфизм инд-схем (при этом X предполагается инд-нетеровой инд-схемой). Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков кручения N на Y полуацикличен относительно X?

Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма - 2

Прежде всего, пусть W → Z -- неаффинный плоский морфизм квазикомпактных полуотделимых схем. Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков на W полуацикличен относительно Z?

Это должно определяться как локальное и по Z, и по W свойство, и такая локальность должна доказываться. Попросту, покроем W аффинными открытыми подсхемами, ограничим комплекс на каждую из аффинных открытых подсхем покрытия, и возьмем прямой образ оттуда на Z. Вот этот прямой образ должен быть коацикличен как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Надо проверять, что это свойство не зависит от выбора покрытия. Коацикличность комплекса на Z тоже должна быть локальным по Z условием.

Пусть теперь Y → X -- неаффинный квазикомпактный полуотделимый плоский морфизм инд-схем (мы предполагаем, что инд-схема X инд-полуотделима и инд-нетерова). Что значит, что комплекс N квазикогерентных пучков кручения на Y полуацикличен относительно X ?

Во-первых, видимо, при текущем уровне знаний имеет смысл пользоваться копроизводной категорией в смысле Беккера. Квазикогерентные пучки кручения на Y образуют категорию Гротендика, так что ее копроизводная категория в смысле Беккера хорошо себя ведет. Заменить комплекс N на комплекс инъективных квазикогерентных пучков J на Y, снабженный морфизмом N → J, конус которого коацикличен в смысле Беккера. Комплекс N называется полуацикличным, если комплекс J полуацикличен. Последнее мы сейчас определим.

Пусть Z -- замнутая подсхема в X, и пусть W -- расслоенное произведение Z и Y над X. Рассмотрим !-ограничение комплекса пучков J на W. Этот комплекс квазикогерентных пучков на W должен быть полуацикличен относительно Z. Комплекс J инъективных квазикогерентных пучков кручения на Y называется полуацикличным относительно X, если это условие выполняется для всех замкнутых подсхем Z в X.

За этим определением стоит такой несложный факт, который можно найти в апрельском препринте. Пусть K -- комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме X. Предположим, что !-ограничение K на всякую замнутую подсхему Z в X стягиваемо как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Тогда комплекс K стягиваем.