![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПрежде всего, пусть W → Z -- неаффинный плоский морфизм квазикомпактных полуотделимых схем. Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков на W полуацикличен относительно Z?
Это должно определяться как локальное и по Z, и по W свойство, и такая локальность должна доказываться. Попросту, покроем W аффинными открытыми подсхемами, ограничим комплекс на каждую из аффинных открытых подсхем покрытия, и возьмем прямой образ оттуда на Z. Вот этот прямой образ должен быть коацикличен как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Надо проверять, что это свойство не зависит от выбора покрытия. Коацикличность комплекса на Z тоже должна быть локальным по Z условием.
Пусть теперь Y → X -- неаффинный квазикомпактный полуотделимый плоский морфизм инд-схем (мы предполагаем, что инд-схема X инд-полуотделима и инд-нетерова). Что значит, что комплекс N квазикогерентных пучков кручения на Y полуацикличен относительно X ?
Во-первых, видимо, при текущем уровне знаний имеет смысл пользоваться копроизводной категорией в смысле Беккера. Квазикогерентные пучки кручения на Y образуют категорию Гротендика, так что ее копроизводная категория в смысле Беккера хорошо себя ведет. Заменить комплекс N на комплекс инъективных квазикогерентных пучков J на Y, снабженный морфизмом N → J, конус которого коацикличен в смысле Беккера. Комплекс N называется полуацикличным, если комплекс J полуацикличен. Последнее мы сейчас определим.
Пусть Z -- замнутая подсхема в X, и пусть W -- расслоенное произведение Z и Y над X. Рассмотрим !-ограничение комплекса пучков J на W. Этот комплекс квазикогерентных пучков на W должен быть полуацикличен относительно Z. Комплекс J инъективных квазикогерентных пучков кручения на Y называется полуацикличным относительно X, если это условие выполняется для всех замкнутых подсхем Z в X.
За этим определением стоит такой несложный факт, который можно найти в апрельском препринте. Пусть K -- комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме X. Предположим, что !-ограничение K на всякую замнутую подсхему Z в X стягиваемо как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Тогда комплекс K стягиваем.
Это должно определяться как локальное и по Z, и по W свойство, и такая локальность должна доказываться. Попросту, покроем W аффинными открытыми подсхемами, ограничим комплекс на каждую из аффинных открытых подсхем покрытия, и возьмем прямой образ оттуда на Z. Вот этот прямой образ должен быть коацикличен как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Надо проверять, что это свойство не зависит от выбора покрытия. Коацикличность комплекса на Z тоже должна быть локальным по Z условием.
Пусть теперь Y → X -- неаффинный квазикомпактный полуотделимый плоский морфизм инд-схем (мы предполагаем, что инд-схема X инд-полуотделима и инд-нетерова). Что значит, что комплекс N квазикогерентных пучков кручения на Y полуацикличен относительно X ?
Во-первых, видимо, при текущем уровне знаний имеет смысл пользоваться копроизводной категорией в смысле Беккера. Квазикогерентные пучки кручения на Y образуют категорию Гротендика, так что ее копроизводная категория в смысле Беккера хорошо себя ведет. Заменить комплекс N на комплекс инъективных квазикогерентных пучков J на Y, снабженный морфизмом N → J, конус которого коацикличен в смысле Беккера. Комплекс N называется полуацикличным, если комплекс J полуацикличен. Последнее мы сейчас определим.
Пусть Z -- замнутая подсхема в X, и пусть W -- расслоенное произведение Z и Y над X. Рассмотрим !-ограничение комплекса пучков J на W. Этот комплекс квазикогерентных пучков на W должен быть полуацикличен относительно Z. Комплекс J инъективных квазикогерентных пучков кручения на Y называется полуацикличным относительно X, если это условие выполняется для всех замкнутых подсхем Z в X.
За этим определением стоит такой несложный факт, который можно найти в апрельском препринте. Пусть K -- комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме X. Предположим, что !-ограничение K на всякую замнутую подсхему Z в X стягиваемо как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Тогда комплекс K стягиваем.
