Полупроизводная категория "не над базой"
May. 23rd, 2021 01:04 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНижеследующее вдохновлено недавним открытием, что полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, связанной с тейтовским топологическим векторным пространством, не зависит от выбора компактной решетки (т.е., сохраняется всеми линейными заменами координат). Хотя определяется она именно в терминах проекции на факторпространство по компактной решетке (являющееся инд-схемой инд-конечного типа).
Кажется, что в квазикогерентной алгебраической геометрии, где всякое негладкое многообразие гомологически бесконечномерно, на этом открытии далеко не уедешь -- но в контексте топологии алгебраических многообразий, например и в частности в контексте D-модулей, где гомологическая размерность правильно определенной категории D-модулей на негладком конечномерном пространстве конечна (я правильно понимаю?) -- может быть надежда построить теорию на этой основе.
***
Пусть Y -- разумная (в смысле Бейлинсона) инд-схема инд-бесконечного типа над полем характеристики 0. Представим себе, что нам удалось придать смысл понятию D-модуля кручения (т.е., как бы "инд-D-модуля") на Y.
Рассмотрим копроизводную категорию "в смысле Беккера" D-модулей кручения на Y, т.е. попросту гомотопическую категорию неограниченных комплексов инъективных объектов. Я предполагаю, что D-модули кручения образуют категорию Гротендика, так что такая копроизводная категория хорошо себя ведет. В частности, она является стороной полуортогонального разложения гомотопической категории D-модулей кручения, так что у каждого комплекса D-модулей кручения есть такая инъективная резольвента. Подразумевается, что конус морфизма в инъективную резольвенту "коацикличен в смысле Беккера", т.е., ортогонален слева ко всем комплексам инъективных объектов в гомотопической категории.
Будем говорить, что неограниченный комплекс инъективных D-модулей кручения полуацикличен (ужасная терминология, конечно -- полуацикличность сильнее ацикличности, хотя слабее коацикличности), если его !-ограничение на всякую разумную замкнутую подсхему в Y ациклично. Произвольный комплекс D-модулей кручения полуацикличен, если его инъективная резольвента полуациклична. Полупроизводной категорией D-модулей кручения на Y называется факторкатегория гомотопической категории (инъективных или произвольных) D-модулей кручения по толстой подкатегории полуацикличных комплексов.
Можно ли сшить из этого определения дерамовскую полубесконечную алгебраическую геометрию? Или, как там ее назвать, полубесконечную топологию алгебраических многообразий?
Кажется, что в квазикогерентной алгебраической геометрии, где всякое негладкое многообразие гомологически бесконечномерно, на этом открытии далеко не уедешь -- но в контексте топологии алгебраических многообразий, например и в частности в контексте D-модулей, где гомологическая размерность правильно определенной категории D-модулей на негладком конечномерном пространстве конечна (я правильно понимаю?) -- может быть надежда построить теорию на этой основе.
***
Пусть Y -- разумная (в смысле Бейлинсона) инд-схема инд-бесконечного типа над полем характеристики 0. Представим себе, что нам удалось придать смысл понятию D-модуля кручения (т.е., как бы "инд-D-модуля") на Y.
Рассмотрим копроизводную категорию "в смысле Беккера" D-модулей кручения на Y, т.е. попросту гомотопическую категорию неограниченных комплексов инъективных объектов. Я предполагаю, что D-модули кручения образуют категорию Гротендика, так что такая копроизводная категория хорошо себя ведет. В частности, она является стороной полуортогонального разложения гомотопической категории D-модулей кручения, так что у каждого комплекса D-модулей кручения есть такая инъективная резольвента. Подразумевается, что конус морфизма в инъективную резольвенту "коацикличен в смысле Беккера", т.е., ортогонален слева ко всем комплексам инъективных объектов в гомотопической категории.
Будем говорить, что неограниченный комплекс инъективных D-модулей кручения полуацикличен (ужасная терминология, конечно -- полуацикличность сильнее ацикличности, хотя слабее коацикличности), если его !-ограничение на всякую разумную замкнутую подсхему в Y ациклично. Произвольный комплекс D-модулей кручения полуацикличен, если его инъективная резольвента полуациклична. Полупроизводной категорией D-модулей кручения на Y называется факторкатегория гомотопической категории (инъективных или произвольных) D-модулей кручения по толстой подкатегории полуацикличных комплексов.
Можно ли сшить из этого определения дерамовскую полубесконечную алгебраическую геометрию? Или, как там ее назвать, полубесконечную топологию алгебраических многообразий?
