Quasi-coherent torsion sheaves, the semiderived category, and the semitensor product

Полная версия -- https://arxiv.org/abs/2104.05517 . 135 страниц. Девятая глава, последняя из запланированных, написана. Кроме того, написано настоящее, полноценное введение на шесть страниц (а то была типа заглушка на страничку).

Что такое полубесконечная алгебраическая геометрия? Полубесконечная алгебраическая геометрия -- это то, о чем можно прочесть по ссылке. Там развернутый, подробный, разумно полный текст на эту тему. Он не исчерпывает мои представления о предмете, конечно, но он отражает существенную их часть.

Что я успел сделать за прошедшую весну 2021 года? Вот что я успел сделать за прошедшую весну 2021 года. Т.е., точнее, за три месяца с примерно 20 февраля. Это помимо саботажа масочного режима и прочих подобных требований (ну, некоторых из них).

К предыдущему

Что дальше? Дальше можно было бы попробовать заменить в этой теории квазикогерентные пучки на D-модули. Или даже на DG-модули над комплексом де Рама (что в сущности то же самое, но технически может быть чем-то лучше).

При этом, конечно, могут возникнуть разные проблемы. Тут надо вспоминать теорию D-модулей, которую я так навскидку обычно в деталях не помню, поэтому мало что могу сказать. Но прежде всего приходит в голову проблема гладкости. Все-таки квазикогерентные пучки на негладком многообразии -- вещь простая и привычная, а D-модули на нем -- это что-то существенно более сложное.

Задача по алгебраической геометрии

(Ну, по очень гомологически-алгебраической алгебраической геометрии.)

Пусть f: Y → X -- гладкий аффинный морфизм конечномерных нетеровых схем. Пусть J -- (неограниченный, иначе неинтересно) комплекс инъективных квазикогерентных пучков на Y. Предположим, что прямой образ -- комплекс f_*(J) инъективных квазикогерентных пучков на X -- стягиваем. Показать, что комплекс J стягиваем.

Случай, когда схема X (а значит, и Y) регулярна, несложен. В этом случае, стягиваемость комплекса инъективных квазикогерентных пучков эквивалентна его ацикличности. Очевидно, что если прямой образ комплекса квазигерентных пучков при аффинном морфизме ацикличен, то и исходный комплекс ацикличен.

Думаю, что я могу доказать, что вопрос стягиваемости комплекса инъективных квазикогерентных пучков на нетеровой схеме локален в топологии Зарисского [да, это очевидно]. Поэтому задача сводится к случаю аффинных схем (т.е., можно считать схему X аффинной, и тогда схема Y аффинна тоже).

P.S. Например, достаточно было бы научиться доказывать, что если К -- квазикогерентный пучок на Y, и квазикогерентный пучок f_*(K) на X инъективен, то K имеет конечную инъективную размерность.