Задача по алгебраической геометрии
May. 20th, 2021 03:35 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic(Ну, по очень гомологически-алгебраической алгебраической геометрии.)
Пусть f: Y → X -- гладкий аффинный морфизм конечномерных нетеровых схем. Пусть J -- (неограниченный, иначе неинтересно) комплекс инъективных квазикогерентных пучков на Y. Предположим, что прямой образ -- комплекс f_*(J) инъективных квазикогерентных пучков на X -- стягиваем. Показать, что комплекс J стягиваем.
Случай, когда схема X (а значит, и Y) регулярна, несложен. В этом случае, стягиваемость комплекса инъективных квазикогерентных пучков эквивалентна его ацикличности. Очевидно, что если прямой образ комплекса квазигерентных пучков при аффинном морфизме ацикличен, то и исходный комплекс ацикличен.
Думаю, что я могу доказать, что вопрос стягиваемости комплекса инъективных квазикогерентных пучков на нетеровой схеме локален в топологии Зарисского [да, это очевидно]. Поэтому задача сводится к случаю аффинных схем (т.е., можно считать схему X аффинной, и тогда схема Y аффинна тоже).
P.S. Например, достаточно было бы научиться доказывать, что если К -- квазикогерентный пучок на Y, и квазикогерентный пучок f_*(K) на X инъективен, то K имеет конечную инъективную размерность.
Пусть f: Y → X -- гладкий аффинный морфизм конечномерных нетеровых схем. Пусть J -- (неограниченный, иначе неинтересно) комплекс инъективных квазикогерентных пучков на Y. Предположим, что прямой образ -- комплекс f_*(J) инъективных квазикогерентных пучков на X -- стягиваем. Показать, что комплекс J стягиваем.
Случай, когда схема X (а значит, и Y) регулярна, несложен. В этом случае, стягиваемость комплекса инъективных квазикогерентных пучков эквивалентна его ацикличности. Очевидно, что если прямой образ комплекса квазигерентных пучков при аффинном морфизме ацикличен, то и исходный комплекс ацикличен.
Думаю, что я могу доказать, что вопрос стягиваемости комплекса инъективных квазикогерентных пучков на нетеровой схеме локален в топологии Зарисского [да, это очевидно]. Поэтому задача сводится к случаю аффинных схем (т.е., можно считать схему X аффинной, и тогда схема Y аффинна тоже).
P.S. Например, достаточно было бы научиться доказывать, что если К -- квазикогерентный пучок на Y, и квазикогерентный пучок f_*(K) на X инъективен, то K имеет конечную инъективную размерность.
