К предыдущему (неподзамочному)

Комодульно-контрамодульное соответствие родилось из теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, как результат абстрагирования феномена двойственности между представлениями Верма алгебры Вирасоро (и ей подобных) на дополнительных уровнях. В моих работах десятилетней давности это было обобщено с бесконечномерных алгебр Ли довольно специального вида до ассоциативных алгебраических структур намного более общего вида -- коалгебр, коколец и полуалгебр.

Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие связывает этот сюжет с другим традиционным разделом теории представлений, выросшим из науки про представления конечномерных алгебр (колчанов и т.д.). Одновременно она делает еще один шаг на пути обобщения и абстрагирования, перенося предмет в контекст абелевых категорий. Тильтинго-котильтинговое соответствие, как оно сформулировано в нашей работе (а также сопутствующей ей работе про бесконечность-тильтинг) -- это соответствие между абелевыми категориями с некоторыми дополнительными данными.

Собственно, фундаментальный факт состоит в том, что наряду со знакомыми и привычными каждому гомологическому алгебраисту абелевыми категориями Гротендика, есть другой важный класс абелевых категорий, в каком-то смысле (только не спрашивайте меня, что эти слова означают...) "ковариантно двойственный". Это класс всех локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов. Комодули обычно образуют категории Гротендика, а контрамодули обычно образуют локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов.

Комодульно-контрамодульное соответствие -- это такое явление природы в математике. (Полезно научиться не путать его с кошулевой двойственностью, которая есть другое и более сложное явление природы в том же ряду.) Работа про тильтинго-котильтинговое соответствие, выходящая теперь из печати, существенно проясняет и расширяет наш взгляд на это явление.

Вопросов и ответов

- Что такое отношения человека с математикой?
- Это то, что позволяет человеку решать, какой задачей стоит заниматься, а какой нет. Или какое решение нечетко поставленной задачи (самые интересные задачи являются нечетко поставленными) -- хорошее, а какое плохое.
- То есть, это эстетическое чувство?
- Да.
- Но большинство математиков решают, какой задачей заниматься, по совсем другим основаниям.
- Ну да. Они хотят решить до вечера задачу, которую с утра поставил Суперзвезда Имярек.
- Это если утрировать.
- Не утрируя, можно сказать, что большинство математиков состоят в отношениях не с математикой, а с сообществом математиков. То есть, пользуются (предполагаемой или действительной) социальной оценкой значимости вещей в математике вместо своей личной.
- Это значит...
- ...что они полагаются на чье-то чужое эстетическое чувство вместо своего собственного. Толпы, группы друзей, учителя, начальника, признанного корифея, Суперзвезды Имярек...
- Это плохо?
- Это не очень хорошо. Но, в конечном итоге, всему свое место под солнцем. Плохо, когда такие люди начинают задавать тон до такой степени, что полагаться на свою личную, а не социальную оценку значимости вещей становится роскошью, которую одни только корифеи и суперзвезды и могут себе позволить.
- И маргиналы.
- Да, типа меня.
- Зачем тебе быть маргиналом?
- Зачем, вообще, что бы то ни было? Я умру, и на том свете меня спросят, что я сделал с моими талантами.
- К числу которых относится...
- Да. Эстетическое чувство в математике.
- А за рецензионный бойкот тебя на том свете не спросят?
- Спросят, и я отвечу.
- Что?
- Что на мой взгляд, мои работы очень хороши. А дальше возможно одно из трех.
- Да?
- Либо редакции не нравятся мои работы -- и тогда наши критерии несовместимы. Либо редакции нравятся мои работы -- и тогда она их печатает.
- Это два варианта, а третий?
- Третий вариант, я так мыслю, состоит в том, что редакции нравятся мои работы, но она не считает нужным их печатать. В каковом случае этот их бордель обойдется без моего участия.