Вопросов и ответов

- У тебя вообще есть какой-нибудь позитивный образ будущего?
- Смотря какого будущего. Нетрудоспособным, но счастливым стариком я не могу себя представить.
- Почему?
- Потому, что мне и сейчас-то, помимо математики, наполнить мое время нечем. Развлекаться я не умею, а "отдыхать" для меня значит "валяться в постели", по большей части.
- Ты мог бы, вместо чтобы валяться в постели, позаниматься спортом...
- Каким еще спортом? Для меня каждый день чистить зубы -- непосильная ноша. И всегда была непосильной, всю недетскую жизнь. С тех пор, как мама перестала меня этим донимать.
- Ну хорошо, а в не настолько позднем возрасте? В 50-60-65 лет у тебя есть позитивный образ возможной жизни?
- Ну, теоретически, я мог бы читать лекции по каким-нибудь интересным математическим наукам, писать статьи и время от времени куда-нибудь ездить с научными визитами. Но ничего этого не будет, конечно.
- Почему не будет?
- Потому, что общая доля неинтересного в любых прокармливающих человеческих занятиях очень велика, и это относится и к профессии математика тоже. Заняв позицию профессора в хорошем университете, можно читать в среднем более интересные курсы более хорошим студентам, но, чтобы получить такую позицию, нужно научные работы писать не такие, как тебе хочется, а такие, которые кому-то там понравятся. Не на интересные темы, а на популярные, и т.д. Я не пошел, да и не мог бы, и не могу, и не собираюсь идти этим путем, что обрекает меня на трудоустройство в не очень хорошем университете. Где я не смогу работать -- просто не смогу нести ту преподавательскую нагрузку, которая там предполагается. Ни по объему не смогу, ни, тем более, по качеству ее.
- Не сможешь?
- Я и в хорошем-то университете не очевидно, что долго смог бы. Вообще, моя работоспособность по неинтересным делам очень низкая. Да и мотивации терпеть все это у меня нет.
- Почему нет мотивации?
- А зачем? Сама по себе жизнь не доставляет мне особенной радости. Свой труд в науке я уже в основном написал и сделал, как уже неоднократно замечалось, и т.д. Ничего такого, ради чего стоило бы из года в год регулярно вставать по будильнику и тащиться читать курсы калькулюса инженерам пищевой промышленности, мне не предстоит. Не говоря уже о том, что вероятность того, что подобная работа не будет вступать в противоречие с моими убеждениями (не говоря уже, тем более, о нервах), равна нулю с высокой точностью.
- А на чисто исследовательских позициях ты не мог бы прожить оставшуюся часть жизни?
- Так, чтобы при этом мне платили столько, сколько мне нужно? Вряд ли.
- Почему? Разве тебе так уж много нужно?
- Потому, что пряников сладких всегда не хватает на всех, а чисто исследовательских синекур -- тем паче.
- Что же будет?
- Ничего. Не будет ничего.
- А раньше ты соглашался заниматься неинтересными или неприятными делами?
- Очень мало, практически нет. Немногие исключения сконцентрированы в возрасте до 20 лет, до окончания МГУ.
- Как же тебе удалось дожить до нынешних сорока четырех с половиной?
- Вот, это и есть самый интересный вопрос. Не знаю. По-моему, это некоторое чудо.
- То есть, если ты доживешь до пятидесяти, это тоже будет некое чудо? Еще одно чудо?
- Да.

Совсем как абелевы категории, только гораздо лучше

Много лет назад один из моих ЖЖ-френдов рисовал мрачную перспективу прогрессирующего расслабления стандартов строгости в математике, при котором математика постепенно превращается в философию, далее в художественную литературу, и в итоге в инструмент политической пропаганды (или что-то в этом роде). Сегодня я вспоминаю об этом, читая письмо, пришедшее от молодого бесконечность-категорщика.

Молодой бесконечность-категорщик пытается убедить меня, что (бесконечность,1) -категории -- совсем как абелевы категории, только гораздо лучше. Что он об абелевых категориях ничего не знает при этом -- то я вижу. Знает ли он что-нибудь о бесконечность-категориях, нужно спрашивать не у меня.

К предыдущему

Впрочем, и (бесконечность,1)-категории могут на что-нибудь сгодиться. А могут и не сгодиться. Вот два по-настоящему релевантных для меня вопроса:

1. Пусть B -- локально представимая абелева категория. Рассмотрим (бесконечность,1)-категорную версию ее производной категории D(B). Будет ли эта стабильная (бесконечность,1)-категория представимой?

2. Пусть D -- представимая стабильная (бесконечность,1)-категория и A -- сердцевина какой-то t-структуры на D. Является ли абелева категория A локально представимой?

Если ответы на оба эти вопроса вдруг положительны, это был бы большой прогресс в моей деятельности.

Update: подумав -- пункт 1. похож на правду, пункт 2. не очень. Кажется, что t-структур слишком много, и среди них могут быть довольно плохие. Наверное, пункт 2. имеет шанс быть верным для t-структур, порожденных множеством (а не классом) объектов, в каком-то там смысле. Но у меня тут копорожденная t-структура, что выглядит сложнее. Поэтому попробую-ка я сформулировать ослабленный вариант пункта 2. как обратное утверждение к пункту 1.:

2'. Пусть A -- абелева категория, такая что (бесконечность,1)-категорная версия ее производной категории D(A) является представимой (бесконечность,1)-категорией. Следует ли из этого, что категория A локально представима?

Можно наложить немного дополнительных условий на категорию A в пункте 2'., если это чем-то помогает. Предположим, что в абелевой категории A есть бесконечные прямые суммы, и что подобъекты любого фиксированного объекта образуют множество. Тогда 2'. верно?