Musti-Buttafuoco, или Не только алгебраическая геометрия

Самая важная написанная по-итальянски математическая научная работа в (прошедшей части) моей жизни, теперь доступна он-лайн -- http://www.bdim.eu/item?id=BUMI_1956_3_11_4_584_0

via http://xgrbml.livejournal.com/400929.html

Лямбда и дельта, идеал и адическое пополнение, контрамодули и контрамодули

Следующие результаты можно при случае включить в мой последний архивный препринт, 1705.04960.

Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал, R^ = lim_n R/Iⁿ -- I-адическое пополнение кольца R, рассматриваемое как топологическое кольцо в топологии проективного предела (= I-адической топологии R-модуля R^). Пусть Λ = Λ_I обозначает функтор I-адического пополнения M &rar; lim_n M/IⁿM на категории R-модулей, Δ = Δ_I -- функтор, сопряженный слева к вложению полной подкатегории I-контрамодульных R-модулей в R-mod.

Тогда:

1. Нулевой левый производный функтор L₀Λ не точного ни слева, ни справа функтора Λ -- он же точный справа функтор R-mod → R-mod, совпадающий с функтором Λ на полной подкатегории проективных модулей в R-mod -- является сопряженным слева функтором к вполне строгому забывающему функтору R^-contra → R-mod.

2. Полная подкатегория I-контрамодульных R-модулей R-mod_I-ctra ⊂ R-mod есть в точности минимальная полная подкатегория в R-mod, содержащая образ вполне строгого забывающего функтора R^-contra → R-mod и замкнутая относительно расширений. В самом деле, всякий I-контрамодульный R-модуль является расширением двух R^-контрамодулей, как следует из вычисления ядра сюръективного морфизма Δ(M) → Λ(M) в разделе 7 препринта 1605.03934.

2а. Таким образом, свободный R^-контрамодуль с одной образующей R^ является 1-хорошей проективной образующей локально представимой абелевой категории R^-contra тогда и только тогда, когда вполне строгий функтор R^-contra → R^-mod_R^I-ctra является эквивалентностью категорий. В частности, если взять за кольцо R с идеалом I контрпример из раздела 2 работы 1503.05523, то R^-контрамодуль R^ будет 0-хорошей, но не 1-хорошей проективной образующей категории R^-contra.