(поводом к которому послужил интерес к фразе, что "целью моих действий является улучшение состояния математики через 50 лет").
"Говоря о состоянии математики, я имею в виду, прежде всего, свою родную область (гомологическую алгебру). Мне кажется, что она довольно важная и осевая, в каком-то смысле (в масштабах математики в целом).
Можно сказать, что гомологическая алгебра пала жертвой собственного успеха. Еще 50 или, может быть, даже 30 лет назад, производные категории и т.д. были эзотерическими понятиями, труднодоступными для непосвященных. Потом произошла некая радикальная демократизация.
В результате, как я вижу, имеется огромное количество людей, воспринимающих гомологическую алгебру как закрытый список трюизмов или базовых идеологем, или, можно сказать, несложную грамматику, по правилам которой можно строить конструкции и утверждения, почти не задумываясь над тем, что они означают. Все словосочетания, построенные по грамматическим правилам, примерно одинаково осмысленны. Все формулировки теорем, грамматически похожие на известные теоремы, верны или почти верны, и доказываются так же.
Ничего по-настоящему нового в этом мире открыть нельзя, т.к. места для новых фундаментальных идей в рамках гомологической алгебры в головах носителей этого мировоззрения не предусмотрено в принципе. Но время от времени заявляется кто-нибудь с парой относительно свежо звучащих словосочетаний и несколькими теоремами-доказательствами, такие словосочетания содержащими. Такие люди считаются создателями новых теорий.
***
Если посмотреть шире, сейчас любят говорить о разнице между "решателями задач" и "строителями теорий" в математике. При этом претензии на доказательство гипотез поддаются хотя бы какой-то обработке в социальном плане. Примерно понятно, что значит, что кто-то решил задачу, простоявшую открытой сколько-то там лет, которую кто-то там раньше пытался и не смог полностью решить, и т.д. Примерно понятно, что значит развернуто изложить ключевые идеи какого-то доказательства в том или ином формате. Примерно понятно, что значит убедительно опровергнуть то или иное доказательство.
Социального механизма оценки качества теорий похоже, что никакого нет. Осуществимы простейшие стратегии: обнаружить "проблему", написать несколько работ, с разных сторон ее обсуждающих, предложить частичное решение "проблемы", подать статью про это в престижный журнал. Понимания чего бы то ни было, тем более, нового понимания, во всем этом может содержаться очень немного.
Можно годами писать статьи на какую-то тему и слыть корифеем, не понимая там простейших, фундаментальных вещей. Отсутствие понимания обнаруживается, оставшиеся незамеченными фундаментальные факты демонстрируются -- и человеку не стыдно. Его теоремы приблизительно верны, и этого достаточно. Доказательство с логической дырой признается ошибочным. Теория с дырами в понимании не признается халтурной.
Более совестливому человеку может быть даже и стыдно, но это все равно не помогает. Человек делает почти одновременно две работы о тесно связанных между собой вещах -- и не видит связи. Обе работы много выиграли бы, если бы связь была замечена. Но две грамматические конструкции непохожи одна на другую; связь между ними являет собой новый трюизм, а не один из старых. Открытие новых трюизмов нам не по силам. По большей части, не по силам даже восприятие уже открытых и прописанных кем-то новых трюизмов.
***
По улицам бодро шагают люди с плотно закрытыми глазами. Вид у многих из них вполне солидный, и вот к ним присоединяются другие, и шагают за ними следом, точно так же закрыв глаза. Гуляющие с открытыми глазами проигрывают соревнование по эффективности, в смысле скорости ходьбы.
Одна из причин происходящего, очевидно, в том, что на этих улицах слишком много людей, которым там скучно и не на что смотреть. Вероятно, им следовало бы прогуливаться по каким-то другим улицам.
Независимо от этого, в целом видны только два исхода. Либо на этих улицах обнаружатся какие-то деревья, или там, столбы, об которые эти шагающие с закрытыми глазами порасшибают себе лбы. Тогда они, быть может, приоткроют глаза и задумаются о чем-то. Либо мы в итоге увидим толпу, бодро марширующую прямиком в пропасть.
***
С чисто теоретической точки зрения, корректность математического доказательства -- очень простое понятие, поддающееся формализации. Понятие "понимания" или "качества понимания" неформализуемо.
Социально имплементировать его на уровне простановки рецензентом оценок рецензируемой статье за количество и качество нового понимания вряд ли удастся. Хотя, на самом деле, почему?
Потому что рецензент -- такой же несовершенный человек, как и автор. Проблема носит нравственный характер. Заниматься математикой следовало бы людям, у которых в мотивации доминирует стремление к пониманию предмета, а не к извлечению жизненных благ из статуса ученого.
Теоретически понятно, что нравственные нормы, в чем бы они ни состояли, должны поддерживаться как бы с двух сторон. С одной стороны, должна быть проповедь нравственных ценностей и высокие образцы служения им. С другой стороны, нарушители должны наказываться.
Понятно, что математика как предмет способна за себя постоять. На это можно полагаться смело.
Но математика как деятельность, которой занимаются в ту или иную эпоху люди -- может существовать или не существовать. Знание без понимания не имеет смысла. Социальный инстутут, функционирующий под девизом "все доказать, и ничего не понять" -- скоро перестанет функционировать.
Если математики больше не любят математику -- математика найдет способ избавить себя от таких математиков. В крайнем случае, от всех сразу.
***
Хотелось бы снова научить людей удивляться -- тех из них, кому в принципе это интересно. Хотелось бы, чтобы люди заметили, что список трюизмов и идеологем всегда открыт. Что истинность утверждения -- не грамматический вопрос, и т.д. Так это выглядит с позиции гомологического алгебраиста.
Хотелось бы, чтобы те, кто в самом деле предпочитает маршировать по нашим улицам с закрытыми глазами, по кратчайшим направлениям к деньгам и славе, -- повстречались лбами со своими столбами. Лучше раньше, чем позже.
Вообще, видимо, должна быть некая борьба между стремлением к ясности и стремлением к глубине. Взаимодействие этих двух течений должно выводить все и всех на чистую воду.
Примерно так мне это видится."
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
