Философия математики

[posic]

Есть стандартное противопоставление платонистской и формалистской позиций: изучают ли математики некую объективную реальность мира математических идей, или они выводят следствия из некоторых наборов аксиом. Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как относиться к доказательствам, использующим компьютерный счет или к попыткам разрешить проблему континуума. Вопрос не решается, поскольку своя доля правды есть в обеих позициях.

Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.

Comments

[brshk.livejournal.com]

Интересно бы провести социологический опрос - так уж ли много в математике
формалистов, чтобы считать, что вопросы не решаются (я думаю, они решаются, но голосованием :-)).

Скажем, с точки зрения формалиста - большинство людей, получивших Филдса, действительно ли они что-то строго доказали?

[posic.livejournal.com]

Математиков, предпочитающих формалистскую позицию, немного; но большинство математиков пользуются как той, так и другой точкой зрения. Так я предполагаю.

В формализуемости существующих математических доказательств в рамках известных аксиоматических систем (и прежде всего ZFC) мало кто из математиков сомневается; специалистов же по матлогике и основаниям математики, которые бы в этом сомневались, кажется, и вовсе не существует.

[brshk.livejournal.com]

Не сомневаются, но "дожимать" на практике этот вопрос никто не будет. Конечно, сама возможность формализуемости очень важна (иначе это уже не математика, а теоретическая физика), но - как мне кажется - большинство математиков ценят в математике идеи и понимание взаимосвязей между объектами, которые чаще всего мыслятся, как объективно существующие вовне.

Действительно ли они существуют - это формалистская постановка вопроса. Можно ведь еще спросить - а на практике, полезно ли их считать объективно существующими. («Человек есть мера всех вещей: существующих – в том, что они существуют, и несуществующих – в том, что они не существуют»)

Даже вне математики есть много идей и понятий, которые существуют как бы только в умах, но последствия имеют самые серьезные. Например, деньги. Или джихад.

Казалось бы из этого следует, что нематематикам надо объяснять идеи,
а не формализм. Но наверно иногда важно, чтобы они были способны понимать формализм ("Математику уже затем учить следует..."), а пока их формализму обучишь, оказывается, что отпущенные часы истекли и Шахразаде пора прекратить дозволенные речи.

[posic.livejournal.com]

Фраза про то, что математика "приводит ум в порядок" - полная ерунда, мне кажется. А студентов учат формализму - не в смысле формалистической философии математики или формальной математической логики, а в смысле правил формальных манипуляций символами в конкретных областях математики, как то в дифференциальном исчислении - потому что (1) предполагается, справедливо или нет, что эти навыки им пригодятся в их профессии и/или (2) предполагается, справедливо или нет, что усвоить идеи они все равно не смогут.