Философия математики

[posic]

Есть стандартное противопоставление платонистской и формалистской позиций: изучают ли математики некую объективную реальность мира математических идей, или они выводят следствия из некоторых наборов аксиом. Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как относиться к доказательствам, использующим компьютерный счет или к попыткам разрешить проблему континуума. Вопрос не решается, поскольку своя доля правды есть в обеих позициях.

Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Для физиковъ математика - наборъ понятій и методовъ вычисленій. Новые понятія и конструкціи физикъ будетъ изучать, если они обѣщаютъ новые методы вычисленій, которые проще и быстрѣе старыхъ. Напримѣръ: Что такое детерминантъ матрицы? Это такая сложная комбинація её элементовъ, вычисляемая по явной формулѣ, а также произведеніе всѣхъ собственныхъ значеній. (Для физика всѣ матрицы диагонализуемы.) Почему детерминантъ произведенія двухъ матрицъ равенъ произведенію детерминантов? Для физика часто отвѣтъ такой: потому что математики доказали, что это такъ (долгими манипуляціями съ явной формулой), и можно провѣрить на случаяхъ 2х2 и 3х3 вручную, если не вѣрится. Какая разница, почему это так, если это уже доказано. Надо запомнить формулу и скорѣе идти дальше вычислять...

Потомъ оказывается, что есть супердетерминанты. Физикъ чешетъ въ затылкѣ и говоритъ: ээээ.... а можно безъ всякихъ объясненій и безъ всякихъ супералгебръ, просто дайте формулу для расчётовъ и всё? Спасибо. Въ результатѣ имѣемъ книги типа Wess-Berger "Суперсимметрія и супергравитація". Читайте, дѣти, и запоминайте всѣ суперъ-матрицы наизусть.

Потомъ, правда, оказывается, что въ возрастѣ 50 лѣтъ уже никакія новыя формулы и новыя понятія въ голову не лѣзутъ.

[posic.livejournal.com]

Видимо, бывают очень разные физики. Ты пишешь про таких физиков, которых из математики интересуют только методы вычислений. Я встречал таких физиков, которых понятия и конструкции интересуют и сами по себе. (Например, лучшее доказательство мультипликативности детерминанта связано с понятием внешней алгебры, понятие внешней алгебры необходимо для определения понятия дифференциальной формы, и некоторые физики интересуются дифференциальными формами - да ты и сам их упоминал в недавней дискуссии - хотя для вычислений в трехмерном пространстве они ничего не добавляют по сравнению со стандартными векторными полями и градиентами-роторами-дивергенциями.) А вот таких физиков, которые интересуются доказательствами, я пока не встречал.

[chaource.livejournal.com]

Да, я думаю ты правъ, что физики не интересуются доказательствами. Физики иногда изучаютъ дифф. формы, но только если надо вычислять что-то въ десятимѣрной теоріи суперструнъ. Среди авторовъ учебниковъ по гравитаціи появилась тенденція писать опредѣленіе дифф формъ въ началѣ книги (дань модѣ), но потомъ ихъ не использовать (потому что въ 4-мѣрной гравитаціи онѣ не такъ ужъ сильно помогаютъ вычислять). Но почти никакіе физики не интересуются тѣмъ, что на языкѣ дифф. формъ можно разсуждать о детерминантахъ. Неважно, что такъ элегантнѣе -
разъ это мультипликативность детерминантовъ была доказана (и доказательство было физиками пропущено) въ начальномъ курсѣ линейной алгебры, этого достаточно. Это и значитъ, что физики не интересуются доказательствами (только фактомъ ихъ наличія).

Мнѣ кажется, что тѣ физики, которыхъ интересуютъ понятія и конструкціи, надѣются потомъ примѣнять эти конструкціи въ вычисленіяхъ. Я тоже отношусь къ такимъ физикамъ.


Ты привёлъ двѣ оппозиціи, но я думаю, что они тѣсно связаны. Я бы переформулировалъ вторую изъ нихъ такъ: Является ли математика наборомъ логически связанныхъ понятій и конструкцій, изобрѣтённыхъ для болѣе глубокого пониманія связей между понятіями, - стремится ли математикъ къ болѣе глубокому пониманію идей; или она является наборомъ опредѣленій и доказанныхъ утвержденій, не важно какихъ и о чёмъ ("Паблосуржикомъ называется вторая производная отъ брынзовѣлости") - стремится ли математикъ доказать какъ можно больше утвержденій, "результатовъ".

[chaource.livejournal.com]

Можно попытаться задать такіе вопросы:

Что такое "хорошая теорема", и что такое "хорошее опредѣленіе"?

Возможные отвѣты:

Хорошее опредѣленіе - такое, къ которому насъ подвела логика предыдущихъ разсужденій, - то-есть мы увидѣли, что намъ будетъ полезно думать объ объектѣ такого-то вида какъ о спеціальномъ понятіи, и мы тогда пишемъ опредѣленіе.

Хорошее опредѣленіе - такое, которое используется во многихъ теоремахъ, которые мы сейчасъ докажемъ.

Хорошая теорема - такая, которая показываетъ, что есть неожиданные и глубокіе связи между раньше извѣстными понятіями или конструкціями, и такая, изъ которой становится ясно, что будетъ дальше.

Хорошая теорема - которая доказана.