Философия математики

[posic]

Есть стандартное противопоставление платонистской и формалистской позиций: изучают ли математики некую объективную реальность мира математических идей, или они выводят следствия из некоторых наборов аксиом. Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как относиться к доказательствам, использующим компьютерный счет или к попыткам разрешить проблему континуума. Вопрос не решается, поскольку своя доля правды есть в обеих позициях.

Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Можно попытаться задать такіе вопросы:

Что такое "хорошая теорема", и что такое "хорошее опредѣленіе"?

Возможные отвѣты:

Хорошее опредѣленіе - такое, къ которому насъ подвела логика предыдущихъ разсужденій, - то-есть мы увидѣли, что намъ будетъ полезно думать объ объектѣ такого-то вида какъ о спеціальномъ понятіи, и мы тогда пишемъ опредѣленіе.

Хорошее опредѣленіе - такое, которое используется во многихъ теоремахъ, которые мы сейчасъ докажемъ.

Хорошая теорема - такая, которая показываетъ, что есть неожиданные и глубокіе связи между раньше извѣстными понятіями или конструкціями, и такая, изъ которой становится ясно, что будетъ дальше.

Хорошая теорема - которая доказана.