Nov. 8th, 2015

В развитие постинга http://posic.livejournal.com/1228377.html

Вот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J1, J2, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы Jn). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения Jn[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Дело в том, что поскольку идеалы Jn не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J1, J1J2, J1J2J3, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.

Пусть p ∈ P -- произвольный элемент. Выберем последовательность вложенных открытых правых идеалов R ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ …, образующих базу окрестностей нуля в R. Пусть n1 -- такое натуральное число, что Jn1 ⊂ U1, и пусть p1 ∈ Jn1[[P]] -- бесконечная формальная линейная комбинация элементов контрамодуля P со сходящейся к нулю в топологии кольца R последовательностью коэффициентов, принадлежащих Jn1, образ которой при отображении контрадействия равен p ∈ P.

В последовательности коэффициентов из Jn1, входящих в бесконечную формальную линейную комбинацию p1, имеется только конечное число таких, которые не принадлежат открытому правому идеалу U2. Пусть n2 -- такое натуральное число, что rJn2 ⊂ U2 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Пусть p2 ∈ Jn1[[Jn2[[P]]]] -- какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[π]], где π обозначает отображение контрадействия R[[P]] → P, равен p1.

Применив к элементу p2 отображение "раскрытия скобок" φP (умножение в монаде X → R[[X]]), мы получаем элемент группы U2[[P]]. Это бесконечная формальная линейная комбинация элементов из P с последовательностью коэффициентов, сходящейся к нулю в топологии кольца R, так что среди этих коэффициентов имеется только конечно множество таких, которые не принадлежат U3. Пусть n3 -- такое натуральное число, что rJn3 ⊂ U3 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Обозначим через p3 ∈ Jn1[[Jn2[[Jn3[[P]]]]]] какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[Jn2[[π]]]] равен p2, а образ при отображении φJn3[[P]] принадлежит U2[[Jn3[[P]]]].

Таким образом, мы получаем последовательность натуральных чисел nk и элементов pk ∈ Jn1[[…[[Jnk[[P]]]]…]], таких что образ элемента pk при отображении Jn1[[…[[Jnk−1[[π]]]]…]] равен pk−1, а его образ qk при отображении раскрытия внешних k−1 (всех, кроме одной самой внутренней) пар скобок принадлежит Uk−1[[Jnk[[P]]]]. Таким образом, бесконечная сумма ∑k=2 qk сходится в топологии R[[X]], где X = R[[P]]. Оставшаяся часть рассуждения такая же, как в привычных версиях контрамодульной леммы Накаямы.

September 2025

S M T W T F S
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 1213
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
282930    

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 28th, 2025 01:31 am
Powered by Dreamwidth Studios