R-мультипликативные системы - 4

Терминология и конструкции в куске текста ниже (вставленного теперь) разделителя во втором постинге этой серии представляются сейчас не вполне удачными. Правильнее будет говорить так.

Функтор тензорного произведения правых и левых мультипликативных R-систем (M,L) → M ⊗_A(R) L, принимающий значения в категории абелевых групп, получается как частный случай известной конструкции тензорного произведения правых и левых модулей над "большим кольцом" (контравариантных и ковариантных аддитивных функторов в абелевы группы из фиксированной предаддитивной категории). Левая/правая мультипликативная R-система называется плоской, если функтор тензорного произведения с ней точен на категории правых/левых мультипликативных R-систем.

Ключевую техническую роль играет следующая

Основная лемма. Ядро сюръективного отображения из строгой левой R-мультипликативной системы в плоскую строгую левую R-мультипликативную систему является строгой левой R-мультипликативной системой.

Следствие (из основной леммы). Ядро сюръективного отображения между плоскими строгими левыми R-мультипликативными системами является плоской строгой левой R-мультипликативной системой.

Доказательство следствия. В самом деле, ядро сюръективного отображения плоских левых мультипликативных систем является плоской левой мультипликативной системой -- это частный случай аналогичного утверждения для плоских модулей над любым "большим кольцом", которое доказывается так же, как такое же утверждение для плоских модулей над обычным кольцом (по существу, используется факт существования достаточного количества плоских правых мультипликативных систем).

Доказательство основной леммы следует ниже.

Лемма 1. Для любой правой R-мультипликативной системы M и любого левого R-контрамодуля P имеется естественный изоморфизм абелевых групп indlim(M) ⊙_R P = M ⊗_A(R) red(P).

Доказательство: естественное отображение слева направо легко строится. Чтобы показать, что оно является изоморфизмом, можно рассмотреть двойственную левую R-мультипликативную систему ^IM^v = (M_I)^v = Hom_Z(M_I,Q/Z) и использовать изоморфизм сопряжения Hom_A(R)(red(P), M^v) = Hom^R(P, projlim M^v).

Лемма 2. Строгая левая R-мультипликативная система L является плоской тогда и только тогда, когда функтор N → N ⊙_R projlim(L) точен на категории дискретных правых R-модулей.

Доказательство: функтор indlim точен, и всякая короткая точная последовательность дискретных правых R-модулей может быть получена применением этого функтора к некоторой короткой точной последовательности правых R-мультипликативных систем (как следует из пункта (1) леммы из третьего постинга этой серии). Ввиду этого наблюдения, искомое утверждение следует из леммы 1 выше и леммы 1(2) из второго постинга этой серии.

(Продолжение следует.)

Аддитивные копучки и плоские контрамодули

Подумав еще немного, представляется, что без мультипликативных систем, пожалуй, что и можно обойтись.

Пусть A -- локально λ-представимая абелева категория. Зафиксируем кардинал λ, и обозначим через Fun(A) категорию всех ковариантных аддитивных функторов из категории A в категорию абелевых групп, сохраняющих λ-направленные прямые пределы (на самом деле, условие это нам здесь нужно только для того, чтобы Fun(A) не оказалась "слишком большой" категорией, в которой морфизмы между двумя фиксированными объектами образуют класс). Обозначим через CoF(A) ⊂ Fun(A) полную подкатегорию в Fun(A), состоящую из функторов, сохраняющих все прямые пределы, и через ExCoF(A) ⊂ CoF(A) полную подкатегорию в CoF(A), состоящую из точных функторов (т.е., функторов, сохраняющих не только все прямые пределы, но и конечные обратные).

Категория Fun(A) является абелевой категорией, в которой короткая последовательность функторов 0 → F → G → H → 0 точна тогда и только тогда, когда для любого объекта N ∈ A короткая последовательность абелевых групп 0 → F(N) → G(N) → H(N) → 0 точна.

В контексте "аддитивной теории копучков", категория Fun(A) мыслится, как категория копредпучков, ее полная подкатегория CoF(A) -- как категория копучков, а ее полная подкатегория ExCoF(A) -- как категория ковялых копучков.

Лемма 1. Пусть 0 → F → G → H → 0 -- короткая точная последовательность в категории Fun(A). Тогда
(1) если функтор H принадлежит ExCoF(A), а функтор G принадлежит CoF(A), то функтор F принадлежит CoF(A);
(2) если функторы H и G принадлежат ExCoF(A), то и функтор F тоже принадлежит ExCoF(A).
(3) если функторы H и F принадлежат CoF(A), то и функтор F принадлежит CoF(A); если функторы H и F принадлежат ExCoF(A), то и функтор G принадлежит ExCoF(A).

Доказательство: ядро (как и коядро) любого морфизма функторов, сохраняющих направленные прямые пределы, тоже сохраняет направленные прямые пределы, так что достаточно проверить условия сохранения ядер и коядер. Теперь остается заметить, что ядро сюръективного морфизма из короткой точной справа последовательности абелевых групп в короткую точную последовательность является короткой точной справа последовательностью, и ядро сюръективного морфизма точных последовательностей является точной последовательностью. Этим доказаны пункты (1-2); доказательство пункта (3) аналогично.

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Нас будут интересовать ковариантные аддитивные функторы на абелевой категории Гротендика дискретных правых R-модулей discr-R. В частности, с каждым левым R-контрамодулем
P связан функтор контратензорного произведения N → N ⊙_R P, который мы будем обозначать через CT(P) ∈ Fun(discr-R).

Наоборот, для любого функтора F ∈ Fun(discr-R) на проективном пределе pl(F) = projlim_I F(R/I), где I пробегает все открытые правые идеалы I ⊂ R и проективный предел берется по отображениям F(R/I) → F(R/J), полученным применением функтора F к отображениям проекции R/I → R/J для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J, имеется естественная структура левого R-контрамодуля. Для любой последовательности элементов r_i ∈ R, сходящейся к нулю в топологии R, и любой последовательности элементов p_i ∈ projlim_I F(R/I), бесконечная сумма ∑_i r_ip_i определяется как элемент проективного предела, компонента которого, принадлежащая группе F(R/I), равна сумме по всем r_i, не принадлежащим I, образов компонент элементов p_i в группах F(R/J_i) при отображениях F(r_i): F(R/J_i) → F(R/I), где J_i ⊂ R обозначает открытый правый идеал, равный полному прообразу правого идеала I ⊂ R при отображении левого умножения r_i: R → R.

Функтор "функтора контратензорного произведения" CT: R-contra → Fun(discr-R) сопряжен слева к функтору проективного предела pl: Fun(R-discr) → R-contra.

Лемма 2. (1) Для любого R-контрамодуля P, функтор CT(P) принадлежит CoF(discr-R);
(2) Для любого функтора F ∈ CoF(discr-R), отображение сопряжения CT(pl(F)) → F является изоморфизмом в категории функторов Fun(discr-R).

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю. Ясно, что любой подконтрамодуль отделимого контрамодуля отделим.

Лемма 3. (1) Для любого функтора F ∈ Fun(discr-R), левый R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) является изоморфизмом.

Следствие. Функторы pl и CT являются взаимно-обратными эквивалентностями между полной подкатегорией CoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R) и полной подкатегорией отделимых R-контрамодулей в R-contra.

Контрпример: сравнив коядро ядра и ядро коядра извесного гомоморфизма с диагональной матрицей (1, p, p², ...) из свободного Z_p-контрамодуля со счетным множеством образующих в себя, можно убедиться, что категория отделимых Z_p-контрамодулей -- а значит, и эквивалентная ей категория сохраняющих прямые пределы ковариантных аддитивных функторов в категорию абелевых групп на категории p-примарных абелевых групп Z_p-discr -- не абелева.

Аддитивные копучки и плоские контрамодули - 2

Напомним, что левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор контратензорного произведения N → N ⊙_R P точен на категории дискретных правых R-модулей. Другими словами, левый R-контрамодуль P плоский, если функтор CT(P) ∈ Fun(discr-R) принадлежит полной подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R).

Основная лемма. Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Допустим, что R-контрамодуль Q отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский. Тогда для любого дискретного правого R-модуля N короткая последовательность абелевых групп 0 → N ⊙_R S → N ⊙_R Q → N ⊙_R P → 0 точна.

Доказательство: положим H = CT(P), G = CT(Q) и F = CT(S); тогда (например, хотя бы уже потому, что функтор N ⊙_R −: R-contra → Ab сопряжен слева к функтору Hom_Z(N,−): Ab → R-contra, и следовательно, сохраняет прямые пределы) имеется точная последовательность F → G → H → 0 в категории Fun(discr-R). Обозначим через F' ядро морфизма G → H в категории Fun(discr-R); тогда имеется естественный морфизм функторов F → F'.

Функтор H принадлежит подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R), а функтор G -- подкатегории CoF(discr-R) (см. лемму 2(1) из предыдущего постинга); так что, согласно лемме 1(1) из предыдущего постинга, функтор F' принадлежит CoF(discr-R). В частности, морфизмы F'(R/I) → F'(R/J) сюръективны для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R. Переходя к проективному пределу, получаем короткую точную последовательность R-контрамодулей 0 → pl(F') → pl(G) → pl(H) → 0.

Теперь R-контрамодуль S, будучи подконтрамодулем отделимого R-контрамодуля, тоже отделим, так что морфизмы сопряжения S → pl(F), Q → pl(G) и P → pl(H) являются изоморфизмами R-контрамодулей (см. лемму 3(3) из предыдущего постинга). Мы показали, что морфизм pl(F) → pl(F') является изоморфизмом R-контрамодулей. Поскольку оба функтора F и F' принадлежат CoF(discr-R), согласно лемме 2(2) (или следствию) из предыдущего постинга, отсюда следует, что морфизм функторов F → F' изоморфизм. Основная лемма доказана.

Следствие 1 (из основной леммы). Ядро сюръективного морфизма плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.

Доказательство: см. лемму 1(2) из предыдущего постинга.

Следствие 2 (из основной леммы, применяемой в условиях следствия 1). Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Тогда если R-контрамодуль S отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский, то и R-контрамодуль Q отделим.

Доказательство: см. доказательство леммы D.1.5 в последней версии контрагерентного препринта.

Альтернативным образом, чтобы доказать следствие 2, достаточно избавиться от предположения отделимости контрамодуля Q в основной лемме. Это можно сделать, определив и вычислив производный функтор функтора контратензорного произведения с помощью свободных резольвент контрамодульного аргумента, и показав, с помощью (следствия 1 и) основной леммы (применяемой в условиях следствия 1), что этот функтор зануляется на плоских отделимых R-контрамодулях.

Следствие 3 (из следствия 2). Расширение двух плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.

Доказательство: см. лемму 1(3) из предыдущего постинга.