Nov. 3rd, 2015

Пусть, как раньше, R -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из открытых правых идеалов. Обозначим через A(R) предаддитивную категорию, объектами которой являются фактормодули R/I кольца R по его открытым правым идеалам, а морфизмами -- гомоморфизмы правых R-модулей R/I → R/J. Нетрудно заметить, что "левые R-мультипликативные системы" в смысле предыдущих двух постингов суть ни что иное, как левые A(R)-модули, т.е., другими словами, ковариантные аддитивные функторы из категории A(R) в абелевы группы. Нам понадобятся также правые R-мультипликативные системы (т.е., правые A(R)-модули, или контравариантные функторы из A(R) в абелевы группы).

Правой R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу MI и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение n(r,I,J): MJ → MI таким образом, что

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений nM(r,I,J) + nM(s,I,J) равна nM(r+s,I,J)
- отображения nM(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция nM(r,I,J)nM(s,J,K) равна nM(sr,I,K)
- группа MR, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

В предположении первых трех условий, четвертое эквивалентно тому, что отображение nM(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J.

С правой R-мультипликативной системой M можно связать индуктивную систему (диаграмму) абелевых групп MI, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы nM(1,I,J). На индуктивном пределе indlimI MI правой R-мультипликативной системы M имеется естественная структура дискретного правого модуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого правого R-модуля N подгруппы MI = N(I) элементов, аннулируемых идеалами I в N, образуют правую R-мультипликативную систему. Функтор системы аннулируемых подгрупп ann: discr-R → msys-R сопряжен справа к функтору индуктивного предела indlim: msys-R → discr-R.

Правая R-мультипликативная система M называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение nM(1,I,J): MJ → MI индуцирует изоморфизм между группой MJ и подгруппой группы MI, равной пересечению ядер всех отображений nM(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма. (1) Для любого дискретного правого R-модуля N, отображение сопряжения indlim(ann(N)) → N является изоморфизмом дискретных правых R-модулей.
(2) Для любого дискретного правого R-модуля N, правая R-мультипликативная система ann(N) (с компонентами ann(N)I = N(I)) является строгой.
(3) Для любой строгой правой R-мультипликативной системы M, отображение сопряжения ann(indlim(N)) → N является изоморфизмом правых R-мультипликативных систем.

Таким образом, вполне строгий функтор ann: discr-R → msys-R отождествляет категорию дискретных правых R-модулей с полной подкатегорией строгих правых R-мультипликативных систем в msys-R.

Категорию строгих правых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией контравариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, переводящих прямые пределы в обратные. Эта последняя категория есть некая аддитивная версия категории пучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. Утверждение, что пучок абелевых групп на discr-R однозначно восстанавливается по своему ограничению на полную подкатегорию дискретных модулей с одной образующей A(R) ⊂ discr-R, причем для того, чтобы правый A(R)-модуль продолжался до пучка на всей категории discr-R достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме пучка для покрытий, описанных в определении понятия "строгой правой мультипликативной R-системы", сродни утверждению, что пучки достаточно определять на базе топологии, и аксиому пучка проверять для покрытий открытого множества из базы другими открытыми множествами из базы. Сформулированная выше лемма в этом контексте превращается в частный случай теоремы о существовании сопряженного функтора, утверждающий, что всякий контравариантный функтор из discr-R в абелевы группы, переводящий пределы в копределы, представим.

Категорию строгих левых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией ковариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, сохраняющих прямые пределы. Например, категория таких функторов на абелевой категории всех правых модулей над дискретным кольцом R эквивалентна категории левых модулей над R. В общем случае, такая категория функторов есть некая аддитивная версия категории копучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. С копучками связан известный ряд технических проблем (если строить копучковизацию по аналогии с пучковизацией, нужно брать направленные проективные пределы в категории абелевых групп, которые не точны), и в самом деле, категория строгих левых R-мультипликативных систем (она же категория отделимых левых R-контрамодулей) ведет себя не очень хорошо; правильной версией ее является категория всех левых R-контрамодулей. Таким образом, такая наивная попытка определить подходящую категорию левых модулей как категорию функторов (тензорного произведения с фиксированным объектом) на категории правых модулей не позволяет получить хорошую теорию в случае, когда в роли правых модулей выступают дискретные правые модули над топологическим кольцом.
- Много ли людей на свете интересуются контрамодулями?
- Не знаю, но пишу про них пока что почти исключительно я один.

Я впервые узнал определение контрамодуля в библиотеке IAS весной 99 года. Осознание, что контрамодули играют важную роль в полубесконечной гомологической алгебре, пришло летом 2000 года. Первые нетривиальные (не решаемые с ходу) задачи про контрамодули появились у меня летом 2002 года, решения их -- в 2006-07 годах. Первые мои работы (на самом деле, это были книги), в заглавиях которых упоминаются контрамодули, вышли из печати в 2010-11 годах. В 2012 году на свет появились контрагерентные копучки (на написание 250-страничного препринта про которые ушла большая часть двух последующих лет).

Теперь на дворе ноябрь 2015; я пишу в этом ЖЖ постинги, имеющие прямое отношение к некоторым открытым вопросам о контрамодулях, сформулированным в монографии 2010 года. Соображения эти нужны мне для того, чтобы сформулировать в естественной общности некоторые результаты о плоских контрамодулях, призванные служить примерами к общему теоретико-категорному сюжету о теориях кокручения в локально представимых абелевых категориях, про который мы сейчас пишем совместную работу.

Конечно, я думаю и пишу не только о контрамодулях (например, у меня есть такая прекрасная тематика, как мотивы с конечными коэффициентами, в которой мои работы привлекают еще даже меньше внимания, чем то, что я о контрамодулях пишу). Но в общем и в целом получается что: весной 99 года мне было 26 лет. Этой осенью уже 42 с половиной. Сколько-то лет еще пройдет, пока на вопрос "много ли людей на свете ..." появится какой-нибудь более положительный ответ. Ничего себе такой способ "делать карьеру в академии", да?

Впрочем, не все так плохо. Один израильский математик писал мне этой весной, что интересуется контрамодулями. Теперь вот у меня будет про них совместная работа с Й.Р., после того, как я провел полтора месяца с небольшим в Брно. Лиха беда начало.

September 2025

S M T W T F S
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 1213
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
282930    

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 29th, 2025 03:06 am
Powered by Dreamwidth Studios