Nov. 3rd, 2015

Пусть, как раньше, R -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из открытых правых идеалов. Обозначим через A(R) предаддитивную категорию, объектами которой являются фактормодули R/I кольца R по его открытым правым идеалам, а морфизмами -- гомоморфизмы правых R-модулей R/I → R/J. Нетрудно заметить, что "левые R-мультипликативные системы" в смысле предыдущих двух постингов суть ни что иное, как левые A(R)-модули, т.е., другими словами, ковариантные аддитивные функторы из категории A(R) в абелевы группы. Нам понадобятся также правые R-мультипликативные системы (т.е., правые A(R)-модули, или контравариантные функторы из A(R) в абелевы группы).

Правой R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу MI и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение n(r,I,J): MJ → MI таким образом, что

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений nM(r,I,J) + nM(s,I,J) равна nM(r+s,I,J)
- отображения nM(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция nM(r,I,J)nM(s,J,K) равна nM(sr,I,K)
- группа MR, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

В предположении первых трех условий, четвертое эквивалентно тому, что отображение nM(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J.

С правой R-мультипликативной системой M можно связать индуктивную систему (диаграмму) абелевых групп MI, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы nM(1,I,J). На индуктивном пределе indlimI MI правой R-мультипликативной системы M имеется естественная структура дискретного правого модуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого правого R-модуля N подгруппы MI = N(I) элементов, аннулируемых идеалами I в N, образуют правую R-мультипликативную систему. Функтор системы аннулируемых подгрупп ann: discr-R → msys-R сопряжен справа к функтору индуктивного предела indlim: msys-R → discr-R.

Правая R-мультипликативная система M называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение nM(1,I,J): MJ → MI индуцирует изоморфизм между группой MJ и подгруппой группы MI, равной пересечению ядер всех отображений nM(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма. (1) Для любого дискретного правого R-модуля N, отображение сопряжения indlim(ann(N)) → N является изоморфизмом дискретных правых R-модулей.
(2) Для любого дискретного правого R-модуля N, правая R-мультипликативная система ann(N) (с компонентами ann(N)I = N(I)) является строгой.
(3) Для любой строгой правой R-мультипликативной системы M, отображение сопряжения ann(indlim(N)) → N является изоморфизмом правых R-мультипликативных систем.

Таким образом, вполне строгий функтор ann: discr-R → msys-R отождествляет категорию дискретных правых R-модулей с полной подкатегорией строгих правых R-мультипликативных систем в msys-R.

Категорию строгих правых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией контравариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, переводящих прямые пределы в обратные. Эта последняя категория есть некая аддитивная версия категории пучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. Утверждение, что пучок абелевых групп на discr-R однозначно восстанавливается по своему ограничению на полную подкатегорию дискретных модулей с одной образующей A(R) ⊂ discr-R, причем для того, чтобы правый A(R)-модуль продолжался до пучка на всей категории discr-R достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме пучка для покрытий, описанных в определении понятия "строгой правой мультипликативной R-системы", сродни утверждению, что пучки достаточно определять на базе топологии, и аксиому пучка проверять для покрытий открытого множества из базы другими открытыми множествами из базы. Сформулированная выше лемма в этом контексте превращается в частный случай теоремы о существовании сопряженного функтора, утверждающий, что всякий контравариантный функтор из discr-R в абелевы группы, переводящий пределы в копределы, представим.

Категорию строгих левых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией ковариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, сохраняющих прямые пределы. Например, категория таких функторов на абелевой категории всех правых модулей над дискретным кольцом R эквивалентна категории левых модулей над R. В общем случае, такая категория функторов есть некая аддитивная версия категории копучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. С копучками связан известный ряд технических проблем (если строить копучковизацию по аналогии с пучковизацией, нужно брать направленные проективные пределы в категории абелевых групп, которые не точны), и в самом деле, категория строгих левых R-мультипликативных систем (она же категория отделимых левых R-контрамодулей) ведет себя не очень хорошо; правильной версией ее является категория всех левых R-контрамодулей. Таким образом, такая наивная попытка определить подходящую категорию левых модулей как категорию функторов (тензорного произведения с фиксированным объектом) на категории правых модулей не позволяет получить хорошую теорию в случае, когда в роли правых модулей выступают дискретные правые модули над топологическим кольцом.
- Много ли людей на свете интересуются контрамодулями?
- Не знаю, но пишу про них пока что почти исключительно я один.

Я впервые узнал определение контрамодуля в библиотеке IAS весной 99 года. Осознание, что контрамодули играют важную роль в полубесконечной гомологической алгебре, пришло летом 2000 года. Первые нетривиальные (не решаемые с ходу) задачи про контрамодули появились у меня летом 2002 года, решения их -- в 2006-07 годах. Первые мои работы (на самом деле, это были книги), в заглавиях которых упоминаются контрамодули, вышли из печати в 2010-11 годах. В 2012 году на свет появились контрагерентные копучки (на написание 250-страничного препринта про которые ушла большая часть двух последующих лет).

Теперь на дворе ноябрь 2015; я пишу в этом ЖЖ постинги, имеющие прямое отношение к некоторым открытым вопросам о контрамодулях, сформулированным в монографии 2010 года. Соображения эти нужны мне для того, чтобы сформулировать в естественной общности некоторые результаты о плоских контрамодулях, призванные служить примерами к общему теоретико-категорному сюжету о теориях кокручения в локально представимых абелевых категориях, про который мы сейчас пишем совместную работу.

Конечно, я думаю и пишу не только о контрамодулях (например, у меня есть такая прекрасная тематика, как мотивы с конечными коэффициентами, в которой мои работы привлекают еще даже меньше внимания, чем то, что я о контрамодулях пишу). Но в общем и в целом получается что: весной 99 года мне было 26 лет. Этой осенью уже 42 с половиной. Сколько-то лет еще пройдет, пока на вопрос "много ли людей на свете ..." появится какой-нибудь более положительный ответ. Ничего себе такой способ "делать карьеру в академии", да?

Впрочем, не все так плохо. Один израильский математик писал мне этой весной, что интересуется контрамодулями. Теперь вот у меня будет про них совместная работа с Й.Р., после того, как я провел полтора месяца с небольшим в Брно. Лиха беда начало.

September 2025

S M T W T F S
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 1213
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24252627
282930    

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 24th, 2025 11:30 pm
Powered by Dreamwidth Studios