И еще раз о контрамодульной лемме Накаямы
Nov. 8th, 2015 10:54 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ развитие постинга http://posic.livejournal.com/1228377.html
Вот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.
Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J1, J2, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы Jn). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения Jn[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.
Дело в том, что поскольку идеалы Jn не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J1, J1J2, J1J2J3, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.
Пусть p ∈ P -- произвольный элемент. Выберем последовательность вложенных открытых правых идеалов R ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ …, образующих базу окрестностей нуля в R. Пусть n1 -- такое натуральное число, что Jn1 ⊂ U1, и пусть p1 ∈ Jn1[[P]] -- бесконечная формальная линейная комбинация элементов контрамодуля P со сходящейся к нулю в топологии кольца R последовательностью коэффициентов, принадлежащих Jn1, образ которой при отображении контрадействия равен p ∈ P.
В последовательности коэффициентов из Jn1, входящих в бесконечную формальную линейную комбинацию p1, имеется только конечное число таких, которые не принадлежат открытому правому идеалу U2. Пусть n2 -- такое натуральное число, что rJn2 ⊂ U2 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Пусть p2 ∈ Jn1[[Jn2[[P]]]] -- какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[π]], где π обозначает отображение контрадействия R[[P]] → P, равен p1.
Применив к элементу p2 отображение "раскрытия скобок" φP (умножение в монаде X → R[[X]]), мы получаем элемент группы U2[[P]]. Это бесконечная формальная линейная комбинация элементов из P с последовательностью коэффициентов, сходящейся к нулю в топологии кольца R, так что среди этих коэффициентов имеется только конечно множество таких, которые не принадлежат U3. Пусть n3 -- такое натуральное число, что rJn3 ⊂ U3 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Обозначим через p3 ∈ Jn1[[Jn2[[Jn3[[P]]]]]] какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[Jn2[[π]]]] равен p2, а образ при отображении φJn3[[P]] принадлежит U2[[Jn3[[P]]]].
Таким образом, мы получаем последовательность натуральных чисел nk и элементов pk ∈ Jn1[[…[[Jnk[[P]]]]…]], таких что образ элемента pk при отображении Jn1[[…[[Jnk−1[[π]]]]…]] равен pk−1, а его образ qk при отображении раскрытия внешних k−1 (всех, кроме одной самой внутренней) пар скобок принадлежит Uk−1[[Jnk[[P]]]]. Таким образом, бесконечная сумма ∑k=2∞ qk сходится в топологии R[[X]], где X = R[[P]]. Оставшаяся часть рассуждения такая же, как в привычных версиях контрамодульной леммы Накаямы.
Вот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.
Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J1, J2, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы Jn). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения Jn[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.
Дело в том, что поскольку идеалы Jn не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J1, J1J2, J1J2J3, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.
Пусть p ∈ P -- произвольный элемент. Выберем последовательность вложенных открытых правых идеалов R ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ …, образующих базу окрестностей нуля в R. Пусть n1 -- такое натуральное число, что Jn1 ⊂ U1, и пусть p1 ∈ Jn1[[P]] -- бесконечная формальная линейная комбинация элементов контрамодуля P со сходящейся к нулю в топологии кольца R последовательностью коэффициентов, принадлежащих Jn1, образ которой при отображении контрадействия равен p ∈ P.
В последовательности коэффициентов из Jn1, входящих в бесконечную формальную линейную комбинацию p1, имеется только конечное число таких, которые не принадлежат открытому правому идеалу U2. Пусть n2 -- такое натуральное число, что rJn2 ⊂ U2 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Пусть p2 ∈ Jn1[[Jn2[[P]]]] -- какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[π]], где π обозначает отображение контрадействия R[[P]] → P, равен p1.
Применив к элементу p2 отображение "раскрытия скобок" φP (умножение в монаде X → R[[X]]), мы получаем элемент группы U2[[P]]. Это бесконечная формальная линейная комбинация элементов из P с последовательностью коэффициентов, сходящейся к нулю в топологии кольца R, так что среди этих коэффициентов имеется только конечно множество таких, которые не принадлежат U3. Пусть n3 -- такое натуральное число, что rJn3 ⊂ U3 для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Обозначим через p3 ∈ Jn1[[Jn2[[Jn3[[P]]]]]] какой-нибудь элемент, образ которого при отображении Jn1[[Jn2[[π]]]] равен p2, а образ при отображении φJn3[[P]] принадлежит U2[[Jn3[[P]]]].
Таким образом, мы получаем последовательность натуральных чисел nk и элементов pk ∈ Jn1[[…[[Jnk[[P]]]]…]], таких что образ элемента pk при отображении Jn1[[…[[Jnk−1[[π]]]]…]] равен pk−1, а его образ qk при отображении раскрытия внешних k−1 (всех, кроме одной самой внутренней) пар скобок принадлежит Uk−1[[Jnk[[P]]]]. Таким образом, бесконечная сумма ∑k=2∞ qk сходится в топологии R[[X]], где X = R[[P]]. Оставшаяся часть рассуждения такая же, как в привычных версиях контрамодульной леммы Накаямы.
