DG-модули над пополненным комплексом Амицура - 2

Напомним прежде всего определение абелевой категории D-модулей на негладком аффинном многообразии над полем k характеристики ноль. Согласно теореме Кашивары, для любого замкнутого вложения Y → X гладких аффинных алгебраических многообразий над k функтор прямого образа (правых) D-модулей отождествляет абелеву категорию D(Y)-модулей с полной подкатегорией в абелевой категории D(X)-модулей, состоящей из всех D(X)-модулей, подлежащие O(X)-модули которых сосредоточены теоретико-множественно на Y (т.е., их ограничение на X∖Y равно нулю).

Пусть теперь Z -- негладкое замкнутое подмногообразие гладкого аффинного многообразия X. Тогда категорию D-модулей на Z можно определить как полную подкатегорию в абелевой категории D(X)-модулей, состоящую из всех D(X)-модулей, подлежащие O(X)-модули которых сосредоточены теоретико-множественно на Z. Пользуясь теоремой Кашивары, должно быть можно показать, что построенная таким образом категория D-модулей на Z не зависит от выбора вложения Z → X.

Покажем, пользуясь этим определением, что функтор вложения абелевой категории D-модулей на Z в абелеву категорию D(X)-модулей индуцирует вполне строгие функторы между (обыкновенными, ограниченными или неограниченными) производными категориями этих абелевых категорий. В частности, отсюда будет следовать, что гомологическая размерность абелевой категории D-модулей на Z конечна (поскольку уж хорошо известна конечность гомологической размерности категории D(X)-модулей).

Доказательство похоже на рассуждения из раздела 1 препринта про MGM-двойственность. Заметим, что максимальный O(X)-подмодуль D(X)-модуля, сосредоточенный теоретико-множественно на Z, является его D(X)-подмодулем. Поэтому из категории D(X)-модулей в категорию D-модулей на Z действует функтор максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z. Этот функтор точен слева и сопряжен справа к функтору вложения категории D-модулей на Z в категорию D(X)-модулей.

Поскольку гомологическая размерность категории D(X)-модулей конечна, не составляет труда определить правый производный функтор этого точного слева функтора, действующий между ограниченными или неограниченными производными категориями абелевых категорий D(X)-модулей и D-модулей на Z и сопряженный справа к функтору, индуцированному точным функтором вложения. Осталось показать, что композиция триангулированого функтора, индуцированного функтором вложения, с правым производным функтором функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, изоморфна тождественному функтору на производной категории D-модулей на Z.

Заметим, что всякий инъективный (левый или правый) D(X)-модуль является одновременно инъективным O(X)-модулем, поскольку кольцо D(X) является плоским (правым и левым) O(X)-модулем. Поэтому производный функтор функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, определенный на категории D(X)-модулей, согласован (образует коммутативную диаграмму с забывающими функторами и) с аналогичным функтором, определенным на категории O(X)-модулей. Остается вспомнить, что, как показано в первом разделе MGM-препринта, все O(X)-модули, сосредоточенные теоретико-множественно на Z, приспособлены к функтору максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, т.е., высшие производные функторы этого точного слева функтора на них зануляются.

DG-модули над пополненным комплексом Амицура - 3

Как было сказано в конце первого постинга этой серии http://posic.livejournal.com/1187439.html , нашей целью является построение эквивалентности между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура (негладкого) аффинного многообразия Z и производной категорией D-модулей над Z. Согласно результатам второго постинга http://posic.livejournal.com/1187909.html , гомологическая размерность абелевой категории D-модулей на Z конечна, так что ее производная категория не отличается от ее копроизводной категории.

Из результатов второго постинга нетрудно вывести, что производная категория D-модулей на Z совпадает с ядром функтора ограничения, действующего из производной категории D-модулей на X в производную категорию D-модулей на X∖Z (заменить комплекс D-модулей на X на квазиизоморфный комплекс инъективных D-модулей и рассмотреть точный треугольник локализации на Z и X∖Z). Таким образом, нашей целью является отождествление копроизводной категории дискретных DG-модулей над (приведенным пополненным) комплексом Амицура многообразия Z с ядром функтора ограничения, действующего из копроизводной категории дискретных DG-модулей над комплексом Амицура многообразия X в копроизводную категорию (квазикогерентных пучков) дискретных DG-модулей над комплексом Амицура над X∖Z, или в совокупность таких категорий DG-модулей для открытых аффинных подмногообразий в X, образующих покрытие X∖Z.

Очевидный функтор прямого образа (ограничения скаляров) сопоставляет дискретному DG-модулю над комплексом Амицура замкнутого подмногообразия Z дискретный DG-модуль над комплексом Амицура объемлющего многообразия X, зануляющийся в ограничении на X∖Z. Хотелось бы доказать, что этот функтор является эквивалентностью между копроизводной категорией по левую сторону стрелки и ядром функтора ограничения, действующего между копроизводными категориями, по правую сторону.

Желаемый результат можно было бы назвать теоремой Кашивары для дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура. От классической теоремы Кашивары он отличается прежде всего тем, что мы хотели бы иметь его для негладких многообразий. Тем не менее, ближайшим аналогом нашего желаемого результата в известной мне литературе представляется теорема Кашивары для DG-модулей над комплексом де Рама (гладкого многообразия над полем характеристики ноль и его гладкого подмногообразия), которую можно найти в разделе 6 работы Сережи Рыбакова http://arxiv.org/abs/1311.7503 , http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs40879-014-0014-4 .

Следуя в русле рассуждений из этой работы, доказательство теоремы Кашивары для дискретных DG-модулей над комплексом Амицура могло бы выглядеть примерно следующим образом. Рассуждая по индукции по числу уравнений, высекающих замкнутое подмногообразие Z из объемлющего (гладкого) афинного многообразия X, достаточно рассмотреть случай, когда Z является замкнутым подмногообразием нулей регулярной функции f на (негладком) аффинном многообразии Y. Требуется доказать, что функтор прямого образа является эквивалентностью между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над комплексом Амицура аффинного многообразия Z и ядром функтора ограничения, действующего между копроизводными категориями дискретных DG-модулей над комплексами Амицура аффинных многообразий Y и Y∖Z.

Пусть M -- дискретный DG-модуль над приведенным пополненным комплексом Амицура C_Y аффинного многообразия Y. Предположим, что подлежащий градуированный C_Y-модуль DG-модуля M является инъективным объектом категории дискретных градуированных модулей над C_Y. Хотелось бы построить естественный выделенный треугольник локализации, разрезающий M на два прямых образа дискретных DG-модулей над комплексами Амицура многообразий Z и Y∖Z.

Заметим, что на комплексе M[f⁻¹] есть естественная структура дискретного DG-модуля над комплексом Амицура многообразия Y∖Z (а следовательно, и многообразия Y). Далее, подкомплекс N комплекса M, состоящий из всех коцепей, аннулируемых какими-то степенями элемента f, является его DG-подмодулем (сохраняется действием элементов комплекса Амицура). Наконец, пусть N₀ ⊂ N обозначает максимальный градуированный подмодуль градуированного модуля N над C_Y, аннулируемый элементами f и df; тогда N₀ является DG-подмодулем DG-модуля N над комплексом Амицура C_Y. Более того, DG-модуль N₀ над комплексом Амицура C_Y является прямым образом некоторого (однозначно определенного) дискретного DG-модуля над комплексом Амицура C_Z.

Все утверждения из предыдущего абзаца, конечно, еще не зависят от предположения инъективности градуированного C_Y-модуля M; однако теперь это предположение нам понадобится. Для построения искомого треугольника локализации достаточно проверить два утверждения:

1. отображение локализации M → M[f⁻¹] сюръективно; и
2. фактор-DG-модуль N/N₀ над комплексом Амицура C_Y коацикличен.

Я не думал еще толком, как доказывать первое. В следующем постинге будет зафиксирован набросок вычисления, в которое упирается попытка доказательства второго средствами, аналогичными вычислениям из статьи С.Р.