![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНапомним прежде всего определение абелевой категории D-модулей на негладком аффинном многообразии над полем k характеристики ноль. Согласно теореме Кашивары, для любого замкнутого вложения Y → X гладких аффинных алгебраических многообразий над k функтор прямого образа (правых) D-модулей отождествляет абелеву категорию D(Y)-модулей с полной подкатегорией в абелевой категории D(X)-модулей, состоящей из всех D(X)-модулей, подлежащие O(X)-модули которых сосредоточены теоретико-множественно на Y (т.е., их ограничение на X∖Y равно нулю).
Пусть теперь Z -- негладкое замкнутое подмногообразие гладкого аффинного многообразия X. Тогда категорию D-модулей на Z можно определить как полную подкатегорию в абелевой категории D(X)-модулей, состоящую из всех D(X)-модулей, подлежащие O(X)-модули которых сосредоточены теоретико-множественно на Z. Пользуясь теоремой Кашивары, должно быть можно показать, что построенная таким образом категория D-модулей на Z не зависит от выбора вложения Z → X.
Покажем, пользуясь этим определением, что функтор вложения абелевой категории D-модулей на Z в абелеву категорию D(X)-модулей индуцирует вполне строгие функторы между (обыкновенными, ограниченными или неограниченными) производными категориями этих абелевых категорий. В частности, отсюда будет следовать, что гомологическая размерность абелевой категории D-модулей на Z конечна (поскольку уж хорошо известна конечность гомологической размерности категории D(X)-модулей).
Доказательство похоже на рассуждения из раздела 1 препринта про MGM-двойственность. Заметим, что максимальный O(X)-подмодуль D(X)-модуля, сосредоточенный теоретико-множественно на Z, является его D(X)-подмодулем. Поэтому из категории D(X)-модулей в категорию D-модулей на Z действует функтор максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z. Этот функтор точен слева и сопряжен справа к функтору вложения категории D-модулей на Z в категорию D(X)-модулей.
Поскольку гомологическая размерность категории D(X)-модулей конечна, не составляет труда определить правый производный функтор этого точного слева функтора, действующий между ограниченными или неограниченными производными категориями абелевых категорий D(X)-модулей и D-модулей на Z и сопряженный справа к функтору, индуцированному точным функтором вложения. Осталось показать, что композиция триангулированого функтора, индуцированного функтором вложения, с правым производным функтором функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, изоморфна тождественному функтору на производной категории D-модулей на Z.
Заметим, что всякий инъективный (левый или правый) D(X)-модуль является одновременно инъективным O(X)-модулем, поскольку кольцо D(X) является плоским (правым и левым) O(X)-модулем. Поэтому производный функтор функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, определенный на категории D(X)-модулей, согласован (образует коммутативную диаграмму с забывающими функторами и) с аналогичным функтором, определенным на категории O(X)-модулей. Остается вспомнить, что, как показано в первом разделе MGM-препринта, все O(X)-модули, сосредоточенные теоретико-множественно на Z, приспособлены к функтору максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, т.е., высшие производные функторы этого точного слева функтора на них зануляются.
Пусть теперь Z -- негладкое замкнутое подмногообразие гладкого аффинного многообразия X. Тогда категорию D-модулей на Z можно определить как полную подкатегорию в абелевой категории D(X)-модулей, состоящую из всех D(X)-модулей, подлежащие O(X)-модули которых сосредоточены теоретико-множественно на Z. Пользуясь теоремой Кашивары, должно быть можно показать, что построенная таким образом категория D-модулей на Z не зависит от выбора вложения Z → X.
Покажем, пользуясь этим определением, что функтор вложения абелевой категории D-модулей на Z в абелеву категорию D(X)-модулей индуцирует вполне строгие функторы между (обыкновенными, ограниченными или неограниченными) производными категориями этих абелевых категорий. В частности, отсюда будет следовать, что гомологическая размерность абелевой категории D-модулей на Z конечна (поскольку уж хорошо известна конечность гомологической размерности категории D(X)-модулей).
Доказательство похоже на рассуждения из раздела 1 препринта про MGM-двойственность. Заметим, что максимальный O(X)-подмодуль D(X)-модуля, сосредоточенный теоретико-множественно на Z, является его D(X)-подмодулем. Поэтому из категории D(X)-модулей в категорию D-модулей на Z действует функтор максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z. Этот функтор точен слева и сопряжен справа к функтору вложения категории D-модулей на Z в категорию D(X)-модулей.
Поскольку гомологическая размерность категории D(X)-модулей конечна, не составляет труда определить правый производный функтор этого точного слева функтора, действующий между ограниченными или неограниченными производными категориями абелевых категорий D(X)-модулей и D-модулей на Z и сопряженный справа к функтору, индуцированному точным функтором вложения. Осталось показать, что композиция триангулированого функтора, индуцированного функтором вложения, с правым производным функтором функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, изоморфна тождественному функтору на производной категории D-модулей на Z.
Заметим, что всякий инъективный (левый или правый) D(X)-модуль является одновременно инъективным O(X)-модулем, поскольку кольцо D(X) является плоским (правым и левым) O(X)-модулем. Поэтому производный функтор функтора максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, определенный на категории D(X)-модулей, согласован (образует коммутативную диаграмму с забывающими функторами и) с аналогичным функтором, определенным на категории O(X)-модулей. Остается вспомнить, что, как показано в первом разделе MGM-препринта, все O(X)-модули, сосредоточенные теоретико-множественно на Z, приспособлены к функтору максимального подмодуля, сосредоточенного теоретико-множественно на Z, т.е., высшие производные функторы этого точного слева функтора на них зануляются.
